無限級数

質問

無限級数Σ（ｎ＝１　∞）２／（√ｎ＋２＋√ｎ）の収束、発散を調べよ。
自分で考えてみたのですが、自信がないので添削をお願いします。

第ｋ項をａk、初項から第ｎ項までの部分和をＳｎとする。
ａk＝２/（√k＋２＋√k）
　　＝２（√k＋２－√k）/（√k＋２＋√k）（√k＋２－√k）
　　＝√k＋２－√k
ゆえにｎ→∞のとき
Ｓｎ＝（√３－√１）＋（√４－√２）＋・・・＋（√ｎ＋２－√ｎ）　　＝－１－√２＋√ｎ＋２→∞
よって、発散する。
これでいいでしょうか？

回答No.3

eishin_j · ベストアンサー

Σ(n:1→∞)2/｛√(n+2)＋√n｝
=lim(n→∞）[Σ(k:1→n)2/｛√(k+2)＋√k｝]
=lim(n→∞）[Σ(k:1→n)2｛√(k+2)-√k}/｛√(k+2)＋√k}｛√(k+2)-√k}]
=lim(n→∞）[Σ(k:1→n){√(k+2)-√k}
=lim(n→∞）{-1-√2+√(n+1)+√(n+2)}
=∞（発散）
最後で計算ミスがありましたよ。
それに書き方がマズイです。[lim(n→∞）部分和]と直してから解きましょう。イメージが違い２次試験では点数が違ってきますよ。現場から

お礼

とても分かりやすかったです。
書き方も教えていただいて、嬉しかったです！
ありがとうございました。

回答No.2

info22

＞Ｓｎ＝（√３－√１）＋（√４－√２）＋・・・＋（√ｎ＋２－√ｎ）　
＞＝－１－√２＋√(ｎ＋２)
間違いです。
＝－１－√２＋√(ｎ＋1)＋√(ｎ＋２)

＞→∞
しかし、発散でいいです。

お礼

もう一度計算してみると、間違いに気付きました。
ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

だいたい合ってるからいいか。

お礼

ありがとうございました。