無限級数と無限数列の違いについて

質問

無限級数の和を求めよ、といった場合0に収束しない場合、「数列{An}が0に収束しないから、この無限等比級数は発散する」となりますよね。それは級数ってのは数列の初項からn項（n→∞)まで足した場合、第∞項にいっても0にならなければ永久に数が増えるために発散ということでしょうか。
数列というのは最後の項（∞）の数値はなにか？ということでしょうか。それで第∞項（←こういう言い方は正しいか分かりませんが・・・）がなんかの値に限りなく近づいていったらその値に収束。ということでしょうか。
つまり、例えば数列のn項（ｎ→∞）が１に収束しても、級数は数列が収束したからって、1を永久に足し続けるから発散。ということでしょうか？

ほかにも、数列が、増幅でも減衰でもない一定の振動をしている場合は、1-1＋1-1＋1・・・となって、合計が1,0,1,0,1,0・・・と０と１を振動してるだけなので級数も振動となるのでしょうか。

似たような問題で、＋と－の値で増幅振動するのがあったんですけど,それは数列が0に収束しないから発散となっていました。1-2+4-8+16-32・・・　となり級数も振動すると思うのですが、解答に発散となっていたので、何かの値に収束しないものは（振動なども）すべてまとめて発散というのでしょうか？

ずらずら質問というか確認のような感じで書いてしまいましたが・・・　極限をやるうえで、意外と大事なところだと思うのでお願いします。

回答No.1

noname#14584 · ベストアンサー

∞は実数・複素数ではないので注意してください．（分かっているとは思いますが）収束先を第∞項と捉えるのは（それが感覚的なものであれ）あまり望ましくないと私は思います．

級数の収束は，第n項までの部分和を持ってきて，それを数列と見なして収束するかどうかを考えます．

「級数が収束するなら，項別では0に収束する」という命題があって，その対偶としてPlz_teach_meさんの仰ることが得られます．
証明は(n+1)項までの部分和とn項までの部分和の差が第(n+1)項であることを用いて極限をとることで得られます．

また，「永久に数が増えるために発散」という理解の方法は良くないと思います．収束する無限級数でも，各項が単調増加なら「永久に数は増え」ますよね．
例えば，
Σ[k=1to∞](1/2)^k
は永久に数が増えますが，級数は1に収束します．

振動と発散についてですが，
まず，収束と発散（収束しないもの全て）という風に分けて，更に発散については，無限大に発散・負の無限大に発散・振動という風に分けます．
ですから，振動する級数を発散する級数と呼んでも間違いではありません．

級数の収束は数列の収束に帰着できるので（というか定義がそうなので）そこに戻して考えればよいと思います．

数列の収束に対する理解が不十分だと思うなら，何か解析の初歩の本を読んでみる良いかもしれません．

お礼

なるほど、ありがとうございました！　なんか誤解というか、はっきりしないところの、もやもやが取れた気になりました。あと、危ない考え方もしていたので、そこら辺のとこも気づいてよかったとおもいます(^^ 　大まかに理解することができたので、数列の収束のところからしっかりとやって生きたいと思います、ありがとうございました！