無限級数の和

質問

無限級数Σ(n=1～∞)(1+2+3+・・・+n)/n!の和を求めたいのですが、
Σ(n=1～∞)(n^2+n)/(2・n!)と変形し

(n^2+n)/(2・n!)＜(n^2+n)/2^n

とまで求め、n→∞の時に(1+2+3+・・・+n)/n!が0に収束することはわかり
和が収束することは示せたのですが、ここからが進みません。どうすればよいでしょうか？

回答宜しくお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

＞　n→∞の時に(1+2+3+・・・+n)/n!が0に収束することはわかり

…だけでは、和が収束することは示せません。
反例として、Σ(n=1～∞) 1/n などがありますから。

質問の級数の場合は、ダランベール判定法などを使えば
収束することが示せます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95
また、正項級数ですから、収束は絶対収束です。

絶対収束する級数の和は、部分級数にバラして計算する
ことができるので、各項を

(n^2 + n)/(2・n！) = (1/2)/(n-2)！ + 1/(n-1)！

と分解してから lim(N→∞) Σ(n=1～N) を計算すれば、
Σ(n=0～∞) 1/(n！) = e を使って、

与式 = (1/2)e + e であることが解ります。

お礼

解答ありがとうございました。
そうですね、教科書を読み返してから
(n^2+n)/(2・n!)＜(n^2+n)/2^nであっても無限級数が収束するとは言えないと気づきました。ご指摘ありがとうございます。