無限級数の収束・発散を調べる

質問

無限級数の収束・発散を調べよという問題で

　 ∞
(1)Σ[{(1+1/n)^(n^2)}/(e^n)]
　 n=1

　 ∞
(2)Σ[{(n/e)^n}/(n!)]
　 n=1

　 ∞
(3)Σ〔[{n^(1/n)}-1]/n〕
　 n=1

というものがあったのですが、(1)はコーシー、(2)はダランベールの判定法でr=1となってしまい、(3)はどちらを使っても上手く整理できずrを求めることが出来ませんでした。
(1)と(2)に関してはそれで終わりでいいのでしょうか？
(3)は計算結果や答えを教えていただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

や, 「(3) はおいておいて」ってのは「(3) は考えないことにして」ってことなんだけど....

で, と.

問題が「無限級数の収束・発散を調べよ」である以上, 答は「収束する」「発散する」の 2択です. もちろん部分点ねらいで「判別できなかった」と書いてもいいけど, コーシーにしろダランベールにしろちょっとしか点はもらえないんじゃないかなぁ.

(1) は各項の対数をとってマクローリン展開すればみえてくるんじゃないかな. (2) はスターリングの公式を使っていいならあまり悩まずにすむところ. ダランベールの判定法はもうちょっと精密にできるので, それを使ってできるかも.

(3) はどうしようか. とりあえず
ln[{n^(1/n)}-1] / ln n
の (n→∞ の) 極限でも考えてみる?

回答No.1

Tacosan

(3) はおいておいてちょっと確認したいことがあるんだけど....

「(1)はコーシー、(2)はダランベールの判定法でr=1となってしまい」の r ってなんですか? そして, 「それで終わりでいいのでしょうか？」というという問いは, いったい何を聞いているのですか?

補足

正項級数Σ(n=1→∞)anにおいて、

コーシーの判定法
r = lim(n→∞){(an)^(1/n)}

ダランベールの判定法
r = lim(n→∞)[{a(n+1)}/(an)]

です。
どちらも
1)0≦r＜1ならば級数は収束
2)1＜rならば級数は発散
というものです。
教科書でrが用いられていたので通じるものだと思い込んでしまいました。

それで終わりでいいのかというのは、問いに対して「判別法を用いても収束・発散の判別が出来なかった」という答えで終わらせてしまってよいのかということです。
他に解法があるのならそちらでも考えてみる必要はあると思いまして。

(3)に関して確認したいこととは何でしょうか？