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数III 無限級数の収束・発散を調べたい
与えられた無限級数の 奇数項の部分和 と 偶数項の部分和 が異なる値に収束する よってこの無限級数は振動し、発散する という解法と、 与えられた無限級数の 数列が0に収束しない よってこの無限級数は発散する という解法はわかるのですが、 与えられた無限級数の 奇数項（偶数項）の数列の極限が0に収束しない よってこの無限級数は発散する という解法が、いまいちピンときません。 どこがわからないのか？といわれても はっきり答えることができないのですが… 3つ目の解法では具体的に どんなことが起きているのか 教えてください。 漠然とした質問ですみません。
- spiralnote
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無限級数の数列が0に収束する ⇔奇数項の数列が0に収束する かつ 偶数項の数列が0に収束する というのは⇒のみしか成立しない。従って 奇数項の数列が0に収束する かつ 偶数項の数列が0に収束する ⇒無限級数の数列が0に収束する は一般的に成立しない。 また「i<j⇒bk(i)<bk(j),k(1)≧1,lim(n→∞)k(n)＝∞」の所は 「i<j⇒k(i)<k(j),k(1)≧1,lim(n→∞)k(n)＝∞」で改めることにして これの意味は k(x):N→N (自然数から自然数に移す写像) とし k(x)が自然数xについて任意な狭義単調増加である関数ということでとらわれている。
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- alice_44
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＞ 与えられた無限級数の ＞ 数列が0に収束しない ＞ よってこの無限級数は発散する ＞ ＞ という解法はわかるのですが、 与えられた無限級数の 奇数項（偶数項）の数列の極限が0に収束しない なら、 与えられた無限級数の数列は0に収束しない じゃんねぇ。
お礼
無限級数の数列が0に収束する ⇔奇数項の数列が0に収束する かつ 偶数項の数列が0に収束する だから 無限級数の数列が0に収束しない ⇔奇数項の数列が0に収束しない または 偶数項の数列が0に収束しない ですね？ 回答ありがとうございました、すっきりしました！ 何か的外れなこと考えてました。
与えられた無限級数の奇数項（偶数項）の数列の極限が0に収束しないならこの無限級数が発散する。 ということを言い換えると 与えられた無限級数が収束する⇒その無限級数の奇数項かつ偶数項の数列の極限が0に収束する。 一般的にこれは下のように拡張される。 「ある無限級数∑(n=1→∞)anがある値に収束する⇒{an}の任意の部分列bk(n)に対して lim(n→∞)bk(n)=0 」 ただしi<j⇒bk(i)<bk(j),k(1)≧1,lim(n→∞)k(n)＝∞ ∑(n=1→∞)anが収束する⇒lim(n→∞)a(n)=0 からlim(n→∞)bk(n)=0は明らかなので 与えられた無限級数の奇数項（偶数項）の数列の極限が0に収束しないならこの無限級数が発散する というのは正しい。
お礼
回答ありがとうございます。 ただ、 i<j⇒bk(i)<bk(j),k(1)≧1,lim(n→∞)k(n)＝∞ の部分が 慣れない数式の書き方で、意味が完璧に読み取れません。 よければ補足お願いします。
お礼
確かに私が言ったことでは 同値関係は成り立ってないですね。 数式の部分も理解できました。 重ね重ねありがとうごさいました。