三角比の問題です

質問

次の問題が、答えは分かるのですが綺麗な解答が得られません。

BC=3,CA=8,AB=10の三角形ABCにおいて、∠B：∠Cをもっとも簡単な整数比で求めよ。

∠B＝x, ∠C＝ax　とおいて余弦定理を駆使すれば、

cos(ax)=-9/16, cos(x)=3/4

が得られるので、あとはあてずっぽにaに2,3,4・・・と代入していくと、

a=3で成り立つので∠B：∠C＝1：3　と一応分かるのですが、

とてもきれいな解答とは言えないので良いヒントをください！

回答No.7

arrysthmia

質問氏は、
＞ あてずっぽにaに2,3,4・・・と代入していくと、
が「きれいな解答とは言えない」と思っているようだが、
とんでもない！

必要条件を絞り込んでいって解に至るような発見的解法は、
きれいどころか、むしろ泥臭いのであって、
真っ先に答えの値が山勘で分かってしまって、それを
論理的かつ簡素に証明するような解法のほうが「きれい」
なのである。洞察力がある解法とは、そういうものだ。

△ABC を実際に作図してみれば、a≒3 に気づくのは易しい。
a=2,3,4,… と順に試すのではなく、いきなり a=3 と推定
してしまうほうが「きれい」とは言える。

証明は、A No.1 で十分である。

回答No.6

mister_moonlight

分らない奴だな。

何故最初の回答でそれを説明しないのか？
従って、後からの説明はともかく、最初の回答は　不完全回答である。私が言いたいのは、そこんところだよ。

回答No.5

info22

#1、#3です。
補足します。
n(一般にには整数分の整数の有理数)は1つだけしか存在しませんので
条件を1つみつかれば完了。それ以上は蛇足（やる必要なし、無駄）
ということはすでに述べたとおりです。
「3辺が確定した三角形の3つの頂角は、1通りの組合せしか存在しない」
ということを忘れなければ、nは整数であろうと分数であろうと無理数であろうと1通りしか存在しません。質問の問題の場合はそのnが、たまたま、整数か、分数（有理数）となるケースの問題であるということです。
（n=3以外の別解は存在しないと言うことです。）

実際にn=3(∠C/∠B=3)
の場合
∠B=arccos(3/4)≒41.4096°
∠C=3∠B=arccos(-9/16)≒124.2289°
cosA=31/32,∠A=arccos(31/32)≒14.3615°
∠A+∠B+∠C=180°
となって正しいことが分かります。
3つの頂角の角度は3辺が与えられれば、一意に決まります。

回答No.4

mister_moonlight

要するに必要条件から求め、十分条件でもある事を示せばよいという事なんだろうが、貴方の回答では必要条件として求めているが、十分条件（他に解がないという事の説明）の説明がない。

それを言ってるわけ、わかる？

回答No.3

info22

＃1です。
A#1の補足質問や#2さんの回答について

3辺が確定しているので、解は一通りしかありません。
質問の問題では、それが簡単な整数比となるとのことですから、簡単な方から探し、１つ見つかれば終わりなのです。その他の有理数のnが存在するわけではありませんから。
なので、1通り見つければいいので、最初は簡単な方からの整数比で
2倍、3倍、4倍、として、みつかれば、それで完了です。
n=3で見つかれば、他のnは存在しません。
それでも見つからなければその他の整数比を試行します。
すでにn=3と確定している三角形に対して、半端な2:3などの整数比の組み合わせは考えること自体、３辺が確定している三角形が他にも存在すると錯覚する間違った考えです。

これは解が何通りも存在する種類の問題ではありません。
３辺が決まった三角形の３つの頂角は１通りしか存在しないことを最初に頭において問題を考えないといけないのです。

なお、∠Bと∠Cの比を考えてみると
√2/2=cos45°≒0.707<cosB=3/4=0.75<cos30°=√3/2≒0.866
ですから
45°>∠B>30°
また
cosC=-9/16なので∠C>90°
-√2/2=cos135°≒-0.707<cosC=-9/16=-0.5625<cos120°=-1/2=-0.5.
120°<∠C<135°
なので
60°<2∠B<90°<120°、90°<3∠B<135°から
2∠B<∠C<135°≦3∠B
2<n=∠C/∠B≦3
なので
nの第一候補として
n=3が出てきます。
このn=3を調べると
cos(∠C)=-9/16=cos(3∠B), cos(∠B)=3/4
を満たし、解の一意性から他の有理数nが存在しないので
最終的な解と決定できますね。

この質問の問題と離れて
仮にn=3が解でなかった場合には
2<n<3の範囲の整数比nを探すことになります。
n=5/2,7/3,8/3,9/4,11/4,11/5,12/5,13/5,14/5, ...
などがnの候補になるかと思います。
だけど、そのような複雑な問題は、まず解けないのでテストや
レポートの問題にならないと思います。

回答No.2

mister_moonlight

＞∠B：∠Cをもっとも簡単な整数比で求めよ。

とは書いてあるが、例えば、∠B：∠C＝2：3となっても良いわけで。

＞あとはあてずっぽにaに2,3,4・・・と代入していくと

何でaを整数と決めてかかるの？
＃1さんの解もそうだけれども。

補足

その通りなんです。
ですが、それ以外の解法が思いつかないので試しにaが整数の場合を考えてみたところ答えが出てきてしまった、というだけの話であって…

aが整数でない場合でも解けるような解法を知りたいと思っているのです。

回答No.1

info22

余弦定理を適用して
cos(nx)=-9/16, cos(x)=3/4
までは同じで良い。
後は2倍角、3倍角、4倍角、... の公式で計算して行くとよい。
cos(2x)=2(cos(x))^2-1=1/8≠-9/16
cos(3x)=4(cos(x))^3-3cos(x)＝-9/16＝cos(nx)
∴n=3　
∠B：∠C＝1：n＝1:3

補足

それは私の解法と同じなのですけど、それだと∠B：∠C＝２：３の場合などは考えていないわけですよね？
そこがきれいでないと感じたので。