三角比の基本的な問題

質問

こんにちは。三角比の問題で分からない所があった為、
書き込ませて頂きました。
問）三角形ＡＢＣにおいて、
ＡＢ＝√３＋１、ＢＣ＝２、ＣＡ＝√６　のとき
Ａ，Ｂ，Ｃの角度はそれぞれ何度か。

余弦定理を使った式までは出せるのですが、
途中の計算で混乱してしまいます；
分かる方、是非お答え下さると嬉しいです！

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

cos∠C=[(2^2)+(√6^2)-((√3+1)^2)]/2*2*√6
=(4+6-4-2√3)/2*2*√6
=(6-2√3)/2*2*√6
=(6-√12)/2*2*√6
=(√6-√2)/4
∠C=75度
------------------
cos∠A=[((√3+1)^2)+(√6^2)-(2^2)]/2*√6*(√3+1)
=[(4+2√3)+6-4]/2*√6*(√3+1)
=[2√3)+6]/2*√6*(√3+1)
=[√3+3]/√6*(√3+1)
=√3(1+√3)/√6*(√3+1)
=√3/√6
=1/√2
∠A=45度
----------------------
cos∠B=[((√3+1)^2)+(2^2)-(√6^2)]/2*2*(√3+1)
=[(4+2√3)+4-6]/2*2*(√3+1)
=[2√3+2]/2*2*(√3+1)
=(√3+1)/2*(√3+1)
=1/2
∠B=60度

お礼

丁寧な解答有難う御座います！
やっと理解出来ました！！本当に有難う御座いました～(＞＜＊)！

回答No.6

info22

#1です。
解答自体は他の方の計算で正解が出ていますので省略します。

＞ｃｏｓＡを出す計算の所が、どうして１／√２になるのでしょうか・・・？
基本的な「余弦から角度を求める」求め方がよく理解されていないようですね。
直交座標平面で単位円（半径１の円）を描いてcosθからθを求める方法がもっともよく使われている方法ですのでマスターして下さい。どの教科書や参考書にも載っているいますので見直されるといいですね。

θは
1) 一般角で求める場合

2)今回のように三角形の内角として正の鋭角といったθに範囲の制限がある場合

に分けて理解するようにしておきましょう。

2)の場合で角が鋭角の場合（cosθ＞0の場合）は
直角三角形を描いて求める方法がよく使われます。

http://laboratory.sub.jp/phy/m11.html

の「2,三角比」の所を見てください。
そこの図で
cos∠A＝1/√2の場合を当てはめると
c＝√2 , a=1, α=∠A
するとb＝1（ピタゴラスの定理から）となりますので
∠A＝45°
が分かると思います。

お礼

丁寧な解答有難う御座います！
ＵＲＬまで書いて頂いて、有難う御座いました＾＾＊
やっと理解できました！お手間おかけ致しました；

回答No.5

Mr_Holland

＃３です。
　お礼を拝見しました。

＞ｃｏｓＡを出す計算の所が、どうして１／√２になるのでしょうか・・・？
＞ｃｏｓＡ＝　（√３＋１）二乗　＋　√６二乗　＋　２二乗／
＞　　　　　　　　　　　　　　２×（√３＋１）×√６

　ここまで書いてくださったお陰で、どこで間違っているかが分かりました。「２二乗」の前の符号はマイナスにしなければなりません。
　あとの計算は＃４さんが細かく記してくださっていますので、そちらを参照してください。
　なお、テキストの解等では「＝√２／２」となっているようですが、これは分母を有利化してあるだけですので、１／√２　と同じ結果になっています。

　計算力が試される問題ですね。
　落ち着いて、紙に大きく数字を書きながら行ってみてください。きっと計算違いをしている場所が分かってくることでしょう。（私もどうしても計算間違いの箇所が分からないときは、大きな紙に最初から丁寧に解きなおすことにしています。そうすると不思議と分かるものです。）

お礼

解答有難う御座います！
はい、基本的な計算力不足でした＾＾；
今度はMr_Hollandさんの言って下さった通り、丁寧に解きなおしていこうと思います！

回答No.3

Mr_Holland

BC=a, CA=b, AB=c とおくと、三角形の角の余弦は、余弦定理から、次のように求められます。

　　cos∠A＝(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
　　cos∠B＝(c^2+a^2-b^2)/(2ca)
　　cos∠C＝(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
　　ただし、∠A＋∠B＋∠C＝π、∠A＞０、∠B＞０、∠C＞０

　あとは、これに数値を入れて計算するだけです。（ここで混乱してしまったのかな。）

　　cos∠A＝(b^2+c^2-a^2)/(2bc)＝{(√6)^2+(√3+1)^2-2^2}/{2√6(√3+1)}＝1/√2
　∴∠A＝π/4　＝45度

　　cos∠B＝(c^2+a^2-b^2)/(2ca)＝{(√3+1)^2+2^2-(√6)^2}/{2(√3+1)*2}＝1/2
　∴∠B＝π/3　＝60度

　∠Cも同様に余弦を求めることができますが、この値から角度を求めるには15度刻みの余弦の値を知らないと難しいので、∠Cについては単純に
　　∠C＝π－∠A－∠B＝5π/12　＝75度
と求めた方がいいでしょう。

＃　せめてどこまで計算して混乱されたのか書いてくださると、的確な回答ができるかと思います。その方があなたにとっても分かりやすいのではないでしょうか。

お礼

丁寧な解答有難う御座います！(＞＜；)
理屈というか、解き方は何とか理解できました！
丁寧な解説をして下さったのに申し訳ないのですが、
ｃｏｓＡを出す計算の所が、どうして１／√２になるのでしょうか・・・？

回答No.2

banakona

Ｃ を先に求めようとすると苦労するかも。
だからＡとＢを求めましょう。Ｃ は１８０－Ｂ－Ａで。

お礼

解答有難う御座います！
分かりました、まずはＡとＢから・・・

回答No.1

info22

ここでは解答を何も示さず丸投げして全解答を求める質問は削除されてしまう恐れがあります。

＞余弦定理を使った式までは出せるのですが、
途中の計算で混乱してしまいます；

この途中までの解を補足で書いて下さい。
要は余弦定理で計算するだけのことですから。

お礼

そうなのですか；ご指摘有難う御座います！気をつけます＾＾；

途中までの式というか、
余弦定理で計算するだけ、が出来ないのです…；
ええと、とりあえず補足付けさせて頂きます；

補足

ｃｏｓＡ＝　（√３＋１）二乗　＋　√６二乗　＋　２二乗／
　　　　　　　　　　　　　　２×（√３＋１）×√６
本当に余弦定理を出しただけで、それからの計算が分かりません；
解答には、＝√２／２　となっているのですが
そこ答えになるまでの過程が分からないです；；