三角比の問題を教えてください。

質問

問題：「四角形ＡＢＣＤが半径８分の６５の円に内接している。この四角形の周の長さが４４で、辺ＢＣと辺ＣＤの長さがいずれも１３であるとき、残りの２辺ＡＢとＡＤの長さを求めよ。」
↑この問題の解き方があっているかどうか、教えてください。間違っていたら指摘お願いします。
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ＡＢ＝Ｘとおくと、ＡＤ＝１８－Ｘ　円の中心をＯとする　
△ＢＯＣで余弦定理により、cos∠ＯＢＣ＝５分の４　　　　　　
（sin∠ＢＯＣ）二乗＋（cos∠ＢＯＣ）二乗＝１より、
（sin∠ＢＯＣ）２乗＝２５分の９　sin∠ＢＯＣ＞０より
sin∠ＢＯＣ＝５分の３　
△ＢＯＣ＝２分の１×８分の６５×１３×sin∠ＢＯＣ
　　　　＝１６分の５０７
点Ｃから辺ＢＤに垂線を引き、辺ＢＤとの交点を点Ｈとすると、
△ＢＣＤはＢＣ＝ＣＤの二等辺三角形なので、ＨＢ＝ＨＤ
△ＢＯＣ＝２分の１×８分の６５×ＨＢ＝１６分の５０７
ＨＢ＝５分の３９　よってＢＤ＝２×５分の３９＝５分の７８
△ＢＣＤで余弦定理により、ＢＤ２乗＝（１３）二乗＋（１３）二乗
－２×１３×１３×cos∠ＢＣＤ　cos∠ＢＣＤ＝３２５分の９１
四角形ＡＢＣＤは円に内接しているので∠ＢＣＤ＝１８０度－∠ＢＡＤ
よってcos∠ＢＡＤ＝－cos∠ＢＣＤ＝－３２５分の９１
△ＡＢＤで余弦定理により、
ＢＤ２乗＝Ｘ２乗＋（１８－Ｘ）２乗－２×Ｘ×（１８－Ｘ）×
cos∠ＢＡＤ　Ｘ＝４、Ｘ＝１４

∴ＡＢ＝４、ＡＤ＝１４またはＡＢ＝１４、ＡＤ＝４

回答No.3

de_tteiu · ベストアンサー

解き方に問題はありませんが、#1にも書いたように

△ＢＣＤで正弦定理からsin∠ＤＢＣ、ＢＣ＝ＣＤよりcos∠ＢＣＤを求めるのがもっと効率的です

特に、BC=CDの条件がないと質問者の方のやり方では厳しいでしょう

お礼

なるほど。これならもっと簡単に解けますね。

回答No.4

LightOKOK

参考までに、「こんな風にもできますよ」というのを示します。

∠BAD=θとおくと、
∠BCD=π-θだから、∠BOD=2(π-θ)=2π-2θ
したがって、∠BOD（外側）=2θ
BC=CD だから、∠BOC=∠DOC=θ
これから、△BOC に余弦定理を使って、cosθ=-7/25

△BCD に余弦定理をつかって、BD=(2×3×13)/5

最後に、AB=x, AD=18-x とおいて、三角形ABD に余弦定理
を適用すれば、こまかい計算は省きますが、
x^2-2×(3^2)x+(2^3)×7=0 から
x=4,14
を得ます。

回答No.2

de_tteiu

すいません、ちゃんと読んでいませんでした

解き方は問題ありませんが、
＞（sin∠ＢＯＣ）二乗＋（cos∠ＢＯＣ）二乗＝１より、
（sin∠ＢＯＣ）２乗＝２５分の９　sin∠ＢＯＣ＞０より
sin∠ＢＯＣ＝５分の３　
△ＢＯＣ＝２分の１×８分の６５×１３×sin∠ＢＯＣ
　　　　＝１６分の５０７

の∠ＢＯＣを∠ＯＢＣに直してください

補足

記入ミスです・・・。申し訳ないです。
あと、解き方に特に問題が無くて良かったです。
この問題、実は東京大学のものらしいのですが、解くのに１時間以上もかかってしまいました。質問では省略していますが、計算量がかなり多く、大変でした。

回答No.1

de_tteiu

＞△ＢＯＣで余弦定理により、cos∠ＯＢＣ＝５分の４　　　　　　
（sin∠ＢＯＣ）二乗＋（cos∠ＢＯＣ）二乗＝１より、
（sin∠ＢＯＣ）２乗＝２５分の９　sin∠ＢＯＣ＞０より
sin∠ＢＯＣ＝５分の３　

→なぜ∠OBCから∠BOCに変わったのか不明、
cos∠ＯＢＣ＝4/5なら
sin∠BOC＝sin(180°-2∠OBC)＝sin(2∠OBC)＝24/25のはず

＞△ＢＯＣ＝２分の１×８分の６５×ＨＢ＝１６分の５０７
→Ｈ≠Ｏですよ

通常の解き方としては、
△ＢＣＤで正弦定理からsin∠ＤＢＣ、ＢＣ＝ＣＤよりcos∠ＢＣＤが求まり、そこからcos∠ＡＢＤが求まるので△ABDの余弦定理でXが求まります