三角比

質問

△ＡＢＣで、ＡＢ＝２、ＢＣ＝１、ＣＡ＝√２で、
∠Ａ＝α、∠Ｂ＝β、とする。
ｍα＋ｎβ＝π　を満たす自然数ｍ，ｎを求めよ。

sinα、ｃｏｓα、sinβ、ｃｏｓβの値は求められる。
正弦定理を三角形に当てはめてみたりした。
αとβのだいたいの大きさも考えてみた。
１５°＜α＜３０°＜β＜４５°か・・。
ｓｉｎ（ｍα＋ｎβ）＝０　になる。
このように、いろいろなことは分かるのですか゛、
肝心な解答につながるポイントが分かりません。
どうｍ，ｎをしぼりこめばよいのか、教えてください。

回答No.5

htms42 · ベストアンサー

「△ＡＢＣでＡＢ＝２，ＢＣ＝１，ＣＡ＝√２
∠Ａ＝α、∠Ｂ＝β
ｍα＋ｎβ＝π　　ｍ＝？，ｎ＝？」

ＡＢの中点をＭとします。
ＡＢ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＭ＝２:√２ですから
△ＡＢＣ∽△ＡＣＭ
∠ＡＣＭ＝β

△ＢＭＣにおいてＢＭ＝ＢＣ＝１ですから∠ＢＭＣ＝∠ＢＣＭ
∠ＢＣＭ＝＝∠ＢＭＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＭ＝α+β
∠Ｃ＝α＋２β
∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝２α＋３β＝π

ｍ＝２，ｎ＝３

お礼

エレガント！！。
全く別の視点からの解答に感服です。
できれば、なぜこの方針で解答を進めていこうと考えたのか、
教えてもらえればと思います。（ＡＢの中点をとるにあたっては
なにか確信があったからだと思います。）

回答No.6

htms42

＃５です。
この問題を見て変な問題だなとはじめは思いました。
３つの辺の長さがわかっているのですから角度も決まっているはずです。
関数電卓があればｍ、ｎはわかります。

でもそういう問題ではないはずです。
不等式で範囲を決めて整数ｎ、ｍを決めるというのもすっきりしません。ｎ，ｍの範囲が広すぎます。
範囲を決めるための角度１５°、３０°、４５°の幅が広すぎるからです。

幾何的に決まる内容ではないだろうかと考えました。
はじめは△ＢＣＭが二等辺三角形になるということでＭを考えました。
ＭＣは２つの三角形の共通の辺です。この辺が手がかりになるかもしれないということで長さを余弦定理で求めました。その値が決まった段階で相似形に気がついたのです。その後はすらすらと行きました。

解答には関係がありませんが、
ＡＣの中点をＮとすると△ＡＭＮ∽△ＡＢＣです。
次々と中点を取っていくと点Ａに収束する相似形の三角形の系列が出来ます。辺の比が１:√２になっていることから出てくることです。
これは紙のサイズのＡ０，Ａ１、Ａ２，Ａ３，Ａ４，・・・、の出来方と同じです。半分に折ると面積が１／２の相似形の長方形が出来ます。
こういう回り道もしていました。

お礼

考えている過程がわかり、参考になります。
面倒な計算等がでできたら、それまでの考え方を捨て、
別の解法に方向転換するのも一つの手であるということですか。
いつでも固執していたら、道は開けないとおもいました。
ありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

我ながら、なんて遠回りしてんだろう。。。。。ｗ

＞よって、n＝1、2、3、4、5が候補だから、続きは虱潰し

折角、mn平面上に図示するなら、そのまま座標から拾い上げればいいものを。

回答No.3

mister_moonlight

＞１５°＜α＜３０°＜β＜４５°か・

そこまで行ったんなら、後は直ぐだけどね。

π/12＜α＜π/6＜β＜π/4　であるから、mπ/12＜mα＜mπ/6、nπ/6＜nβ＜nπ/4　→　π（m＋2n）/12＜mα＋nβ＜π（2m＋3n）/12　→　π（m＋2n）/12＜π＜π（2m＋3n）/12　
従って、3≦m＋2n＜12、12＜2m＋3n。これをmn平面上に図示すると（図示しなくても）1≦n≦5。
よって、n＝1、2、3、4、5が候補だから、続きは虱潰し（後は省略）。

お礼

なるほど、3≦m＋2n＜12、12＜2m＋3n　の導き出し方が参考になりました。これで、納得です。
ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

αとβのとり得る範囲を考えているところは、いい攻め方をしていると思います。
そこにもう少し「うまい」絞り込み方を持ち込めれば・・・

そこで、π＝ 180度を自然数で順番に割ってみてください。
2で割って、3で割って、4で割って・・・
そのとき出てくる角度を用いてα、βを絞り込めれば、mと nの絞り込みが楽になると思います。

たとえば、π/4＜γ＜π/3であれば、0＜ k*γ＜πとなる kは 1≦ k≦ 3ですよね。

補足

アドバイスありがとうございます。
2で割って、3で割って、4で割って・・・
そのとき出てくる角度を用いてα、βを絞り込めれば、mと nの絞り込みが楽になる。
ちょっと考えてみましたが、よく理解できません。もう少し教えてもらえないでしょうか。

回答No.1

Tacosan

π/12 < α < π/6 < β < π/4 なら mα + nβ = π となる自然数 m, n のうち n は高々 5 であることが分かりますよね.

補足

この問題を解くにあたって、目の付け所としては、「自然数 m, n のうち n は高々 5 である」でいいのでしようか。
それとも、もっとよい別の解法があるのか。