熱伝導方程式の直交座標→極座標の変換について

質問

ρcΔxΔyΔz・ΔT/Δt = (q_x-Δx/2-q_x+Δx/2)Δy+(q_y-Δx/2-q_y+Δx/2)Δx・・・(1)

ρcδT/δt = 1/r・δT/δt(λ_r・r・δT/δt) + 1/r^2・δ/δθ(λ_θ・δT/δθ)・・・(2)

数式表現が1行にまとめてるので見づらくて申し訳ありませんが、
上記の(1)式から(2)式の導出方法を教えていただけると幸いです。

具体的には、直交座標系の熱伝導方程式から、平面極座標系の熱伝導方程式に導出するときにはどうすればいいか、
特に1/rが出てくる理由がわかりません。

すいませんが、伝熱工学や熱伝導力学が分かる方、解答お願いします。

回答No.2

noname#57316

ρcΔxΔyΔz・ΔT/Δt = (q_x-Δx/2-q_x+Δx/2)Δy+(q_y-Δx/2-q_y+Δx/2)Δx・・・(1)
ρcδT/δt = 1/r・δT/δt(λ_r・r・δT/δt) + 1/r^2・δ/δθ(λ_θ・δT/δθ)・・・(2)

ρc(ΔxΔyΔz)・(ΔT/Δt)={q(x-Δx/2)-q(x+Δx/2)}ΔyΔz+{q(y-Δy/2)-q(y+Δy/2)}ΔxΔz…(1)'
ρcδT/δt=1/r・δ/δr{λ_r・(r・δT/δr)}+1/r^2・δ/δθ{λ_θ・(δT/δθ)}…(2)'

(1) を (1)'、(2) を (2)' に置き換えます。
(1)' は
{q(x)-q'(x)・(Δx/2)-q(x)-q'(x)・(Δx/2)}ΔyΔz
+{q(y)-q'(y)・(Δy/2)-q(y)-q'(y)・(Δy/2)}ΔxΔz となります。
∴　ρc(ΔxΔyΔz)・(ΔT/Δt)={-q'(x)・(Δx)}ΔyΔz+{-q'(y)・(Δy)}ΔxΔz
これから、
ρc・(δT/δt)=-q'(x)-q'(y)

q(x)=-λ_x・(δT/δx) と表わせるから
q'(x)=-(δ/δx)[λ_x・(δT/δx)] 等となる。

円筒座標の変数を、r、θ、z とし、r、θ方向へのみ熱伝達されるとすると、
-q'(r)=(1/r)(δ/δr)[〔λ_r・(r・δT/δr)]
-q'(θ)={δ/(rδθ}[λ_θ・{δT/(rδθ)}]

これらが、q'(x)、q'(y) に替わる。
（この辺のことは、ベクトル解析、ベクトルの微分、発散について、別途学んでください）

∴　ρc・(δT/δt)=(1/r)〔(δ/δr)[λ_r・(r・δT/δr)]+(1/r)(δ/δθ)[λ_θ・(δT/δθ)]〕
=(1/r)・δ/δr{λ_r・(r・δT/δr)}+(1/r^2)・δ/δθ{λ_θ・(δT/δθ)}

回答No.1

Meowth

２つは整合性がないね。
うえの流儀でかくならしたも同じ流儀でかけば？
左辺には体積要素をかけたりかけなかったり
右辺は温度勾配にしたりフラックスにしたり
微分が　ｔとかまちがってるし
λはスカラーなのに成分がついてるし、

２次元ならΔｚ＝１でいいけど一応見た目でつけると
微小要素の３辺は、Δr　(ｒΔφ)　Δｚ
体積要素はΔr(ｒΔφ)Δｚ
左辺は、
ρcΔr(ｒΔφ)ΔｚδT/δt
右辺は、ｆlux のｚ方向は０として
-[(qr(r+Δr/2){(r+Δr/2)Δφ}Δｚ-qr(r-Δr/2){(r-Δr/2)Δφ}Δｚ]-{qφ(φ+Δφ/2)-qφ(φ-Δφ/2)}ΔrΔｚ

qr(r+Δr/2){(r+Δr/2)Δφ}Δｚ
=qr・rΔφΔｚ+∂ｑr/∂rΔr/2・rΔφΔｚ+qr{(Δr)Δφ}Δｚ/2
=qr・rΔφΔｚ+∂ｑr/∂rΔr/2・rΔφΔｚ+qr/r/2{Δr(rΔφ)}Δｚ

qr(r-Δr/2){(r-Δr/2)Δφ}Δｚ
=qr・rΔφΔｚ-∂ｑr/∂r・{rΔφ}Δｚ-qr・(Δr/2)ΔφΔｚ

qφ(φ+Δφ/2)=qφ+∂ｑφ/∂φ・Δφ/2=qφ+1/r/2∂ｑφ/∂φ・rΔφ
qφ(φ-Δφ/2)=qφ-∂ｑφ/∂φ・Δφ/2=qφ-1/r/2∂qφ/∂φ・rΔφ
結局、右辺は、
-[∂ｑr/∂r+qr/r{Δr(rΔφ)}Δｚ]Δr・rΔφΔｚ
-1/r∂ｑφ/∂φ・rΔφΔrΔｚ
左辺＝右辺とおいて、体積要素rΔφΔrΔｚで割り算して、
ρcδT/δt =-[∂qr/∂r+qr/r]-1/r∂ｑφ/∂φ
[]はまとめて[1/r・∂(r・qr)/∂r]
ρcδT/δt =-[1/r・∂(r・qr)/∂r]-1/r∂ｑφ/∂φ

fluxは
qr=-λδT/δr
qφ=-λ/rδT/δφ
qz=-λδT/δz（＝０）
代入すれば、
ρcδT/δt =[1/r・∂/∂r(r・λδT/δr)]+1/r∂/∂φ{λ/rδT/δφ}
ρcδT/δt =[1/r・∂/∂r(λ・rδT/δr)]+1/r^2・∂/∂φ{λ・δT/δφ}