極方程式と直交座標(方)は同一図形を表すか？

質問

極方程式 r=sinθ＋2 と
直交座標の方程式
4(x^2＋y^2)=(x^2＋y^2－y)^2 は
同一図形を表すかどうか。

変換しても、条件に含む・含まない点など、肝心なところがよくわかりません。
どなたか、ご解答をお願いできないでしょうか。どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

4(x^2＋y^2)=(x^2＋y^2－y)^2
にx=rcosθ，y=rsinθを代入したら
4(r^2)=(r^2－rsinθ)^2
2r=r^2-rsinθまたは2r=-r^2+rsinθ
となるがrが0でないとき
r=sinθ+2またはr=sinθ-2
r=sinθ+2または-r=sin(θ+π)+2
となるので，実はこの２つは同じ図形を表し，4(x^2＋y^2)=(x^2＋y^2－y)^2 と同じである。
これで残っているのはr=0の場合つまりx=y=0の場合だが，これは4(x^2＋y^2)=(x^2＋y^2－y)^2を満たすがr=sinθ＋2を満たすことはない。
結局，原点を含むか含まないかの違いを除けば，同じ図形です。

回答No.1

info33

>極方程式 r=sinθ＋2 (0≦θ≦2π) と
>直交座標の方程式
>4(x^2＋y^2)=(x^2＋y^2－y)^2 は
>同一図形を表すかどうか。

フリーグラフィックソフト GRAPSを用いて,
2つのグラフを1つに重ねてプロットすると完全に一致します。
同一図形を表すかどうかの手っ取り早い ( 一番速い ) 確認方法です。
是非使ってみてください。

同一グラフと確認してから, 計算による確認した方が効率的だと思う。

参考URL：

https://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/index.html

お礼

ご紹介のソフトの使い方をいつか勉強してみます。いろいろな解法があるものですね。どうもありがとうございます。