1次元熱伝導方程式についての質問です。

質問

円柱金属棒の中心にヒーターを入れ、ヒーターの電源を入れた時、x秒後の金属棒表面温度は出せますか？

ヒーター半径r1、金属棒半径r2、金属棒の熱伝導率λ、ヒーター単位体積当たりの出力Q[W/m^3]とした場合、「熱量Qを与え始めてからx秒後の金属棒表面温度T」が知りたいのですが、うまく導出できません。

円筒体系、中央部での発熱有の1次元熱伝導方程式を考えた場合、定常熱伝導として温度分布は出せるのですが、時間tの時の温度分布となるとうまくいきません。この場合非定常熱伝導関係の式を使わないと出ないのでしょうか？

初期条件として金属棒とヒーターはそれぞれ室温(Tr)で温度勾配はないものとし、熱伝導率は一定、ヒーター表面から金属棒への熱抵抗は無視する、とします。

もし足りない要素等ございましたら、適当に補足していただけるとありがたいです。

回答No.2

ryujin118 · ベストアンサー

>>この場合非定常熱伝導関係の式を使わないと出ないのでしょうか？
その通り．
円筒座標表示した一次元非定常熱伝導方程式を解く必要があります．
まず，円筒座標表示した一次元非定常熱伝導方程式を用意します．
（一次元（空間は半径方向のみ）なので，半径方向以外の微分の項は零になります．）
あとは変数の数だけ初期条件，境界条件を設定します．
続いて式を解きます．
この式は偏微分方程式なので，数学の本にあるように変数分離法で解きます．
解は温度ですが，その形は変数（半径と時間）を含む無限級数になります．
解が導出出来たらエクセルなどで無限級数部分を計算します．
無限と言ってもある程度nが大きい部分まで足し合わせれば，
それ以降の値は無視できるほど小さくなので，
適当に途中で計算を打ち切ります．

まとめ
(1)円筒座標表示した一次元非定常熱伝導方程式を用意する
(2)変数の数だけ初期条件，境界条件を用意する
(3)変数分離法で解析解を導出する（解は無限級数の形になる）
(4)エクセルで，自分が知りたい位置（半径），時刻の温度を計算する

普段計算に慣れてないと偏微分方程式を解く際に計算ミスが続出して面倒ですが，
頑張ってください．

お礼

お返事おそくなってしまいすいませんでした。やはり非定常ですよね・・・でもryujin118さんの回答を見ながら考えてみたら見事出来ました！！本当にありがとうございました！！

回答No.1

noname#185706

>この場合非定常熱伝導関係の式を使わないと出ないのでしょうか？

表面温度を時間 t の関数として求めるのですから、∂/∂t の項を含んだ時間発展方程式を解く必要があると思います。そのようにして得られた解で t → ∞ とすると定常解と同じになるはずです。

>もし足りない要素等ございましたら

表面からの放熱をどう扱われているのかが気になります。

（これ以上のことは私にはわかりません。）

お礼

お返事おそくなってしまいすいませんでした。境界条件をしていませんでしたね。でもみなさんの親切なアドバイスのおかげで無事解決いたしました。本当にありがとうございました！！