極座標と極方程式について教え下さいい<(_ _)>

質問

下の問題教えてください。
(1)円x²+y²=１の極座標(r,θ)における極方程式を求めよ。
(2)直線y=-√３x+√３の極座標(r、θ)における極方程式を求めよ。(xは√の外です)
(3)円x²+y²=１と直線y=-√３x+√３の交点の極座標(r、θ)を求めよ。(xは√の外です)
(4)極方程式によってr=４sinθ(0≦θ≦π)とあらわされる曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

お願いします<(_ _)>

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
　r=1 (0≦θ≦2π)

(2)
　y=-√３x+√３
x=rcosθ,y=rsinθを代入して
　rsinθ=-√3 rcosθ +√3
　r(sinθ+√3 cosθ)=√3
　∴r=(√3)/(sinθ+√3 cosθ)
または
　　r=((√3)/2)/sin(θ+(π/3))

(3)
　r=1
　r=((√3)/2)/sin(θ+(π/3))
を連立にして解けば
　r=1
　((√3)/2)/sin(θ+(π/3))=1
　sin(θ+(π/3))=√3/2
　θ=0,π/3
交点の極座標(r,θ)=(1,0),(1,π/3)

(4)
　r=4sinθ
rを掛けて
　r^2=4rsinθ
xy座標に戻すと
　x^2+y^2=4y
　x^2+(y-2)^2=2^2
これは中心(0,2),半径2の円の方程式である。
0≦θ≦πより囲まれる図形は円全体である。
従って面積は　π*2^2=4π