座標変換

質問

私の受ける大学院入試の過去問です。

空間の座標系ｒに関して　ｘ+　３ｙ　-2ｚ　+1＝0　で表される平面πがある
座標変換ｒ→ｒ’の式が以下であるとき、平面πのｒ’に関する方程式を求めよ

[x] [1 2 3] [x'] [1]
[y]=[2 4 5] [y'] +[-2]
[z] [3 5 6] [z'] [3]

どなたかこの問題の解き方、模範解答を教えて下さい。^_^

回答No.2

f272 · ベストアンサー

x=x'+2y'+3z'+1
y=2x'+4y'+5z'-2
z=3x'+5y'+6z'+3
とx+3y-2z+1=0が分かっているのだから上式を代入して
(x'+2y'+3z'+1)+3(2x'+4y'+5z'-2)-2(3x'+5y'+6z'+3)+1=0
つまり
x'+4y'+6z'-10=0
になります。これが座標変換後の平面の式です。

回答No.1

CygnusX1

うまく説明できるか、伝わるか分かりませんが、解説してみます。
(Excel を使うというズルをしてますので……^^;;; )

座標変換の式を簡単に
P = A P' + B
とします。
これを変形して
P' = A^-1 ( P - B)
となります。A^-1 は A の逆行列です。

平面の式からまずX軸との交点を求めます。便宜上 x, y, z を横に並べます
P1 = (-1, 0, 0)
P1 - B = (-1, 0, 0) - (1, -2, 3) = (-2, 2, -3)
逆行列 A^-1 にこれを掛けて、P1' を求めます。
P1' = (-14, 15, -6)

同様に Y軸との交点 P2 = (0, -1/3, 0) から
P2' = (-12, 11, -11/3)

Z軸との交点 P3 = (0, 0, 1/2) から
P3' = (-12, 23/2, -4)

が得られます。
次にこの3点を通る平面を求めるのですが、まず方線ベクトルを求めます。
法線ベクトルは二つのベクトルの外積になりますので、P1' を基準として
(P2' - P1')×(P3' - P1')
直角ではないので、ベクトルの長さは1以下です。
単位ベクトルにする必要があります。

この法線ベクトルとP1' の位置ベクトルを内積した値が面と原点の距離になります。(P2' , P3' との内積でも同じ値になります。)

あとは係数を整数の形にしてやると平面の式になります。
最初に書きましたように Excel で計算したので、途中経過を記述することはできません。
ごめんなさいです。

最後の式だけ

x + 4 y + 6 z -10 = 0