極座標と直交座標の変換について

質問

直交座標でx^2/a^2+y^2/b^2=1と表されている楕円を極座標に変換してr=q/1+pcosθのような形で表すにはどのような式変形をすればよいでしょうか。また、その逆で極座標で表されているものを直交座標に直すにはどうすればよいでしょうか。
どなたか数学の得意な方教えてください。
途中の計算過程をできるだけ詳しく書いていただけると幸いです。

回答No.3

de_Raemon · ベストアンサー

たしか楕円の極座標表示では焦点を極座標の原点にとるのだったと思います。
直交座標での焦点Fの座標を(c,0)としてもう一方の焦点Gの座標を(-c,0)とします。
焦点Fを極座標の原点にとると、Fと楕円上の点P(x,y)の距離はrです。
もう一方の焦点Gと点P(x,y)の距離をRとすると楕円の性質から
r+R＝2a ・・(1)
また、余弦定理から
R^2＝r^2+4c^2-4crcos(π-θ)＝r^2+4c^2+4crcosθ ・・(2)
(1)と(2)からRを消去してrについて解くと
r＝(a^2-c^2)/(a(1+(c/a)cosθ)) ・・(3)
ここで
q＝(a^2-c^2)/a , p＝c/a ・・(4)
とおけば
r=q/(1+pcosθ) ・・(5)
になります。

逆に(5)の形が与えられたとき、つまりpとqの値がわかっているときは
(4)式からcとaの値がわかり、楕円の性質
b^2＝a^2-c^2 ・・(6)
からbの値もわかります。

なお、極座標ともとの直交座標との関係は
x＝c+rcosθ , y＝rsinθ ・・(7)
です。

お礼

ありがとうございました。
大変わかりやすく詳しかったのですぐに理解することができました。

回答No.2

rabbit_cat

＞極座標で表されているものを直交座標に直す
r=√(x^2+y^2)
cosθ=x/r = x/√(x^2+y^2)
を
r=q/1+pcosθ
に代入して頑張って整理すればできます。

お礼

ありがとうございました。
頑張ってやってみます。

回答No.1

rabbit_cat

x=r*cosθ
y=r*sinθ
を元の式x^2/a^2+y^2/b^2=1に代入して、
頑張って、rについて解けば出てきます。三角関数の計算問題

お礼

ありがとうございました。
頑張って計算してみます。