放物線と方程式

質問

分からない問題があるので教えてください。一応少しは解けましたが、難しすぎて歯が立ちません。どうか、よろしくお願いします。すべて教えていただけなくても、結構です。
y=x^2によって定められたxy平面状の放物線をCとする。C上にない点PとC上にある2点Q,Rについて、次の条件を満たしている。∠RPQ=90°, 線分PQは点QでCの接線と直交している, 線分PRは点RでCの接線と直交している。次の問いに答えよ。
(1)点Qのx座標をa,点Qにおける接線の方程式の傾きをmとしたとき、この接線の方程式をa,mを用いて表せ。
(2)mをaの式で表せ。
(3)点Rのx座標をbとする。このとき次の座標をa,bをを用いて表せ。
1,2点Q,Rの中点Mの座標　　2,2点Q,RにおけるCの接線のの交点Sの座標
(4)点Pの座標をa,bを用いて表せ。
(5)点Q,RがC上を動くとき、点Pの奇跡の方程式を求めよ。
(6)a>0とする。△QSMの面積をS(a)と置き、これを求めよ。
(7)点QがC上を動くとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。

解答できたのは、(1)だけです。(3)-1もできましたが、(2)が解けないため、(3)-2はできませんでした。

回答No.2

postro · ベストアンサー

(1)y=2m(x-a)+a^2
(2)f(x)=x^2とするとm=f'(a)=2a
(3)-1
Q,Rの中点Mの座標はQ,Rのx座標とy座標をそれぞれたして２で割る。
M((a+b)/2 , (a^2+b^2)/2)
(3)-2
Qにおける接線の方程式は
y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2
Rにおける接線の方程式は
y=2b(x-b)+b^2=2bx-b^2
この二つの直線の交点の座標は
S((a+b)/2 , ab)　ただしこの二つの直線は直交しているから　2a*2b=-1 すなわち　ab=-1/4 である
(4)点Pと点Sの中点がMだから
P((a+b)/2 , (a^2+b^2-ab))
a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab だから
P((a+b)/2 , (a+b）^2+3/4) ともかける
(5)a+b=a-1/4a は全ての実数を表わせることに注意してa+b=q とおけば
P(q/2 , q^2+3/4) この軌跡の方程式は
y=4x^2+3/4
(6)a>0とする。△QSMの面積をS(a)と置き、これを求めよ。
Q(a,a^2)
S((a+b)/2 , ab)
M((a+b)/2 , (a^2+b^2)/2)
この3点をx方向に-a,　y方向に-a^2平行移動した点をそれぞれQ',S',M'　とすると
Q'(0,0)
S'((b-a)/2 , a(b-a))
M'((b-a)/2 , (b^2-a^2)/2)
S(a)=△QSM=△Q'S'M'=|(b-a)^2*(b+a)-2a(b-a)^2|/8'=|(a-b)^3|/8
={(a + 1/4a)^3}/8
(7)点QがC上を動くとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。
△PQR=2*△QSM={(a + 1/4a)^3}/4
ここで相加平均相乗平均の関係より
a + 1/4a≧1　 (∵　0＜a)
よって最小値は　1/4

お礼

こんな面倒な問題をわざわざありがとうございました。本当に感謝しています。

補足

すみません。ひとつお聞きしたいことがあるのですが、postroさんはこの問題をみてすぐ、簡単に解けたのでしょうか。
もし、そうだとしたらどのような訓練や練習をしたのでしょうか。また、使っていた問題集なども教えていただけるとうれしいです。

回答No.3

postro

(1)は間違えていました。正しくは　y=m(x-a)+a^2　ですね。
他も間違えているかもしれません。
＞すみません。ひとつお聞きしたいことがあるのですが、postroさんはこの問題をみてすぐ、簡単に解けたのでしょうか。
問題を(1)から順々にやっていくとだんだんできるようになっている親切な問題なので、ちょっと面倒なところがあるだけでそれほど難しくはなかったです。
途中がなくて(7)をいきなり出されると、けっこう難しい問題になりますね。
＞もし、そうだとしたらどのような訓練や練習をしたのでしょうか。また、使っていた問題集なども教えていただけるとうれしいです。
特別なことはありません。今までにチャレンジした、こなした「問題数」だけは多い方かもしれません。

回答No.1

j-mayol

(2)について
ｙ＝ｘ＾２の導関数　ｆ’（ｘ）＝２ｘだから
Ｑ（ａ，ａ＾２）における接線の傾きは
ｆ’（ａ）＝２ａ
よって２ａ＝ｍ
ではダメなのかな