ラプラシアンの極座標表示について

質問

化学系の学部にいるので数学は不得意なのですが，誰か教えて下さい。
ラプラシアンを2次元直交座標から2次元極座標に変換する場合
直交座標(x,y)，極座標(r,θ)とすると，
x=rcosθ,y=rsinθ・・・(1)からδ/δx,δ/δyを求める時，参考書によると
r^2=x^2+y^2，tanθ=y/x・・・(2)
δ/δx=(δ/δr)(δr/δx)+(δ/δθ)(δθ/δx)
δ/δy=(δ/δr)(δr/δy)+(δ/δθ)(δθ/δy)・・・(3)
(2)をxで微分すると
2r(δr/δx)=2x=2rsinθ
(1/(cosθ)^2)(δθ/δx)=-(y/x^2)=-(sinθ/r(cosθ)^2)
より
δr/δx=cosθ，δθ/δx=-(1/r)sinθ
同様に
δr/δy=sinθ，δθ/δy=(1/r)cosθ
以上の関係を(3)に入れれば，
δ/δx=cosθ(δ/δr)-(1/r)sinθ(δ/δθ)
δ/δy=sinθ(δ/δr)+(1/r)cosθ(δ/δθ)となります。
これで，合っていいるのですが，初めて，私がこの問題を考えた時，
(1)をそれぞれ，rとθで偏微分しました。
δr/δx=1/cosθ，δθ/δx=-(1/rsinθ)
δr/δy=1/sinθ，δθ/δx=(1/rcosθ)となりsinθ，cosθの項が
正解と逆転してしまい，異なる結果となってしまいました。
私は，どちらの方法でも同じになると思っていたのですが，
どうして，違うのですか誰か分かりやすく教えて下さい。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

座標変換や偏微分を教えていると，よくお目にかかる例です．

偏微分の記号は JIS にありますので∂を使うことにします．

本質は redbean さんが書かれているとおりで，
∂r/∂x を計算するとき，何を一定として計算するかの問題です．
通常，独立変数は (x,y) の組，あるいは(r,θ)の組ですから，
x で偏微分するときは y 一定でやるのが常識的です．
つまり，r = √(x^2 + y^2) として，
(1)　　∂r/∂x = x/√(x^2 + y^2) = r cosθ/r = cosθ
です．
一方，r = x/cosθ と考えてθ一定で偏微分すると
(2)　　∂r/∂x = 1/cosθ
となって，(1)(2)では分母分子が逆転してしまいます．

偏微分のときに一定に保った変数を下付で書くのはご存知ですよね．
熱力学でいやと言うほど出てきます．
これを明確に書くなら，
(1)は (∂r/∂x)_y を計算しているのに対し，
(2)は (∂r/∂x)_θ を計算しています．
偏微分の際に一定に保った変数が違うのですから，結果が違っても不思議はありません．

図を描くと状況がもっと明確になります．

　　　　　ｙ

　　　　　│　　　　　　　　Ｑ'
　　　　　│　　　　　　　／
　　　　　│　　　　　　／
　　　　　│　　　　　／
　　　　　│　　　　Ｐ───Ｑ
　　　　　│　　　／
　　　　　│　　／　　Ｒ
　　　　　│　／
　　　　　│／θ
　　　　　└────┬───┬─　ｘ
　　　　Ｏ　　　　　│　dx　│

Ｐ点から出発して，x を dx だけ増やしたときに，
y 一定ならＱ点に行きますが，θ一定ならＱ'点に行きます．
このときの r の変化は，
y 一定なら(ほぼ)ＱＲ(ＲはＰからOQへの垂線の足，PR がここではうまく描けません)，
θ一定なら PQ' です．
△PQQ' と △QRP は相似ですから，QR:PQ = PQ:PQ' = cosθ:1，
すなわち，PQ'/QR = 1/cos^2 θ です．
この因子がちょうど(1)(2)で cos^2 θ倍違うことに相当しています．

お礼

redbeanさんに加えて，さらに具体的な図を使った説明非常にわかりやすかったです，これからもよろしくお願いします。

回答No.1

redbean

∂r/∂x の意味は、x （およびその他）を独立変数、
r を従属変数としたとき、r を x で偏微分したもの、
ということです。

x=rcosθ は r ,θを独立変数、x を従属変数とする
x(r,θ)=rcosθ の意味です。

これを
r=x(r,θ)/cosθ
と書き換えてみたところで、x が独立変数になるわけ
ではありませんから、このまま ∂r/∂x を求めることは
できません。r=r(x,y) の関数形を明らかにすることが
先になります。

お礼

核心をついた説明ありがとうございます。また，質問をした時は，よろしくおねがいします。