極座標と直交座標

質問

「直交座標で表したとき
(x,y)=(3^1/2+1,3^1/2-1)なる点を、
極座標(r,θ)で表せ。ただし、arccos,arcsin,arctanなどの逆三角関数の記号を用いずに表すこと。」という問題を以下のように解きましたが、自信がありません・・・。

r=(x^2+y^2)^1/2なので、r=2√2

θ=tan^-1*y/xより
θ=tan^-1*(3^1/2-1)/(3^1/2+1)
=tan^-1*(3^1/2-1)^2/(3^1/2+1)*(3^1/2-1)
=tan^-1*(1-(3^1/2)/2)
=tan^-1*1+tan^-1*(-(3^1/2)/2)
tan^-1*1=α　, tan^-1*(-(3^1/2)/2)=βとおくと、
tanα=1 , tanβ=-(3^1/2)/2
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/1-(tanα*tanβ)
=(1-(3^1/2)/2)/(1-(3^1/2)/2)=1
∴α+β=Π/4 ∴θ=Π/4

回答No.1

adinat · ベストアンサー

残念ながら正解ではないように思います。
rは合っていると思いますので、偏角の方が問題です。

とりあえず、よく知られているπ/3,π/4,π/6ではないので、
そう簡単には求まらないので、予想を立てて解きます。
知っていればなんてことないですが．．．

まずcosθ=(√3+1)/(2√2),sinθ=(√3-1)/(2√2)より
cos(2θ)=cos^2θ-sin^2θ=√3/2
を得ます。ということはθ=π/6かあるいはθ=11π/6です。
あとはsinθの条件からθ=π/12が答えとわかります。

naganottiさんの計算では、
tan^{-1}{(√3-1)/(√3+1)}
=tan^{-1}{(√3-1)^2/2}
=tan^{-1}{2-√3}
のところで計算がずれているような気がします。

お礼

苦手なんです、幾何学・・・。公式ばかり覚えていても、実際に使えないんです。ご指摘、ありがとうございました。

回答No.2

KENZOU

adinatさんの回答の補足です。
＞cosθ=(√3+1)/(2√2),sinθ=(√3-1)/(2√2)
　sin2θ=2sinθcosθ=1/2
これから
　2θ=π/6　∴θ=π/12