直交座標系での問題が分かりません。

質問

直行座標(x1,x2)において点P＝(p1,p2)が与えられており、
点Q＝（q1,q2）はこの座標系でPから角度α、距離dの位置にある。
また直交座標系(x1,x2)にたいして反時計回りにβ回転させた
直交座標系(y1,y2)を考える。

問１
点Pの座標系(y1,y2)における座標（p'1,p'2）をp1,p2,βで表しなさい

問２
点Qの座標系（y1,y2）における座標値（q'1,q'2）をp1,p2,βで表しなさい。

問３
問１でもとめた(p'1,p'2)にたいして座標系(y1,y2)において角度α－β
距離dの位置にある点を考える。
この座標は問２で求めた点Qの座標系（y1,y2）における(q'1,q'2)と
一致することを示しなさい。
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という問題があり

問１は
p'1＝p1cosβ－p2sinβ
p'2＝p1sinβ+p2cosβ
と計算できましたが
問２以降がわかりません。

レベルの低い問題ですがよろしければ解答をお願いします。

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

yamada-keさん、こんにちは。

> 問１は
> p'1＝p1cosβ－p2sinβ
> p'2＝p1sinβ+p2cosβ
> と計算できましたが

符号の付き方が、

p'1 ＝ p1cosβ + p2sinβ
p'2 ＝ - p1sinβ + p2cosβ
…(1)

ではないですかね。例えばβ=90度のとき、p'1=p2, p'2=-p1 になるので。

> 角度α、距離dの位置にある。

いまいち、この意味がわからないのですが、おそらく、

q1-p1 = d cosα
q2-p2 = d sinα
… (2)

という意味でしょうか。そうだとして考えます。

> 問２
> 点Qの座標系（y1,y2）における座標値（q'1,q'2）をp1,p2,βで表しなさい。

(1)と同様の考え方で、

q'1＝ q1cosβ + q2sinβ
q'2＝ - q1sinβ + q2cosβ

ですが、これに(2)を代入して、

q'1＝ (d cosα + p1) cosβ + (d sinα + p2) sinβ
q'2＝ - (d cosα + p1) sinβ + (d sinα + p2) cosβ
…(3)

となります。加法定理を使うと、

q'1＝ d cos(α - β) + p1 cosβ + p2 sinβ
q'2＝ d sin(α - β) - p1 sinβ + p2 cosβ
…(4)

と整理できます。

> 問３

(2)と同様の考え方により、

q'1-p'1 = d cos(α-β)
q'2-p'2 = d sin(α-β)

になりますが、(1)を用いると、

q'1 = d cos(α-β) + p1cosβ + p2sinβ
q'2 = d sin(α-β) - p1sinβ + p2cosβ

となり、(4)に一致します。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
また問１の間違いについてもご指摘ありがとうございます゛Ｏｊ乙

わたしはＰがβ度反時計回りに回転したときを計算していました。
直行軸が反時計回りに回転するから点Ｐは時計回りにβ回転したときを
考えないとダメだったんですね。