直交座標と極座標について

質問

直交座標と極座標の関係は
ｘ＝ｒcosθ　ｙ＝ｒsinθとなり
ｘ'＝Vcosθ＝r'cosθ－rθ'sinθ　(1)

ｙ'＝Vsinθ＝r'sinθ＋rθ'cosθ　(2)
（Vは系の速度）
で(1)×cosθ＋(2)×sinθ
をやるとrθ'の項が消えてVがで求まるはずなんですけど
V＝r'となりｒω（rθ'）になりませんよね。なぜですか？

動径の運動方程式と出すときは上と同じやり方で、（cos^2θ＋sin^2θ＝１を利用して）式が導出されていたのですが、何故Vを出すときは使えないのでしょうか？教えてください！

回答No.3

sanori · ベストアンサー

＃１＃２さんご指摘の通りですが、
ｘ'＝Vcosθ
ｙ'＝Vsinθ
の時点で、すでに間違われているようです。

上記定義では、
「Ｖ」は、「単位時間当たりに原点からどれだけ遠ざかるか」というスカラーになりますので、
原点からの距離（これもスカラー）を表すｒの微分ｒ’がＶと一致するのは当然ということになります。

なお、ｒが定数、すなわち回転運動であれば、
ｘ'　＝　－rθ'sinθ　(1)
ｙ'　＝　rθ'cosθ　(2)
ですから、
回転速さＶ（スカラー）は
Ｖ＾２　＝　ｘ’＾２＋ｙ’＾２
　　＝　（ｒθ’）＾２
となり、ご期待通りの結果になります。

お礼

勘違いしてました！スッキリしました。ご指摘ありがとうございました！

回答No.2

eatern27

#1です。質問の趣旨を誤解しておりました。すいません。

>Vcosθ＝r'cosθ－rθ'sinθ　(1)
>Vsinθ＝r'sinθ＋rθ'cosθ　(2)

で(1)×cosθ＋(2)×sinθを計算すると、左辺がＶになるはず。でもならないのは何故？という事だったんですね^^;

何故そうならないのかというと、

θというのは、ベクトルr→とx軸(の正の方向)がなす角です。
r→とV→は平行とは限らないので、一般にはベクトルＶ→とx軸(の正の方向)がなす角はθではありません。

だから、Ｖ→のx,y方向の成分はVcosθ,Vsinθではありません。
つまり、x'≠Vcosθ,y'≠Vsinθです。

(Ｖ→とx軸のなす角がθであれば、動径方向にしか動いていない(θ'=0)、という事なので、Ｖ＝r'となるのは当然といえば当然だったわけです)

お礼

そのとおりです。完全に勘違いしていましたね。
ありがとうございました！

回答No.1

eatern27

>V＝r'となりｒω（rθ'）になりませんよね。なぜですか？

r'は速度の動径方向(r方向)の成分、rθ'は速度のθ方向の成分です。

(1)×(-sinθ)+(2)×(cosθ)
を計算すれば、rθ'となります。