微分の増減表のy'の符号について

質問

微分の増減表のy'の符号についていまいちコツをつかめずにいます。自分で今までつかんだコツを書きます。

・増減表の端の値には極端な数値(±100000000)などを代入する。
・０の前後ではプラスマイナスは逆転する。
・X^x , ()^2のように必ず正になるものは無視する。

以上ですが、2番目のものは99%ぐらい今のところ大丈夫ですが、今日当てはまらないものに出会いました。このことに関してが今回の質問のメインになると思います。

当てはまらなかったものというのは具体的に「増減表の1番左のy'の符号がマイナスで、その次が0でその次がプラスと思いきやマイナスというもの」でした。こんなものに出会ってしまったのでこれからは「端以外では０の前後ではプラスマイナスは逆転する。」と考えていいでしょうか。またこれが正しければなぜでしょうか。

P.S.
あくまでも上の話はゼロの前後のことで漸近線などの含まれない値の前後ではありません。

回答No.7

kkkk2222

＃５です。

このスレッドの投稿はこれが、最後ですが。
あまりの読解力のなさに、あきれ果てています。
＜質問文に隠された部分が読み取れて居ません＞
一体何を読んでいるんでしょうか。
まあいつもの通りで別に驚くにも値しませんが。

y = 1 + x + (1/2) x^2 - e^x
については、高校生相手に、
Ｅのテイラー展開を切り抜いてくるとは,
確かに＜子供＞ですね。
知っている者にとっては、バカバカしくて話にもなりません。
微分せずとも、わかる話です。
微分したとしても、図形的意味を考慮すれば、
＃１の仲間であるあることは、書くまでもない話です。
そもそも、
＜Ｙ’から明白にノゾケルときの話してであって、明白でない部分については、議論の対象になっていません。＞

y = x|x|
にいたっては、前提さへ考慮してありません。

y = -1 + x + cos(x)
これは一体なにを読んでるのか、
当方が推測し、記載ずみですが。
＃１として　　１＋COSＸ≧０
反例も、もう思いつけない状態のようです。
ーーー
収穫はありました。

＜例外がない＞ことがハッキリしました。
ーーー
y=x^5-5x^4+5x^3　を見てスッキリしました。
単なる見落としですね。

もう全てが解明されたようです。
スレッドを締めて良いようです。

回答No.6

kabaokaba

まあ，子供っぽいですが，
ご期待にお応えして，あえて釣られてみましょう．

y = 1 + x + (1/2) x^2 - e^x
y = x|x|
y = -1 + x + cos(x)

全部，y'=0となるx=0で極値ではないですな．
しかも「＃１」には含まれていません．

要は展開可能な関数で2次以下の項を引いてしまえば
いくらでも作れるわけだし，
絶対値とかいろいろと組み合わせると
病的な例も可能でしょう．

「限られた関数」にしか
値が０になったときの前後で符号が変化するなんてことは
適用できません．

まあ，私に限れば
>・X^x , ()^2のように必ず正になるものは無視する。
いやー，すっかり見落としましたわ．
完璧主義者さんには怒られますな

じゃ，例としてあげたのは撤回して
上に挙げたのに差し替えときます．

ちなみに，蛇足ですが，
極値ってのは
その定義の時点では微分とは何にも関係ありません．
したがって，y=|x|なんてのは極値をもちますし，
y=|x^2-1|も極値を三つもちます．

y'=0に注目するのは
微分可能な関数が極値を持つならば
そこで導関数が0になるが，逆は成立しない
ということを踏まえて，
y'=0となる点を探していけば極値がわかるかも
というだけのお話です．

大事なのは，y'が存在するならばy'の正・負・0を調べることです．
正負をチェックする段階で自然と極値もでてくるのです．
さらに根源になるのは「yそのものの増減を知りたい」ということで
そのための便利な道具として導関数があるわけです．

補足

大変申し訳ありません。僕が愚問をしたせいで凄い事になってしまいました。。。
ちなみに友達にプリントを借りて見直してみたところ「y=x^5-5x^4+5x^3」という関数でした。ゼロの前後が模範解答ではプラスです。
それににしても自分で吟味しようと思います。

回答No.5

kkkk2222

＃４です。

＞＞＞＞y=ax^2+bx+c（二次関数）とかy=ax^4（４乗に比例）などの限られた関数にしか適用できないのです。
　この文章は＜過度に表現＞されています。
Ｙ＝Ｘ＾２－４Ｘ＋１
Ｙ’＝２Ｘー４
Ｘ＝２のおいて増減が変化するのは、書くまでもないでしょう。
Ｙ＝Ｘ＾４　においてもしかり、
Ｙ’＝４Ｘ＾３
Ｘ＝０のおいて増減が変化するのは論をまちません。
このことをもって＜限られた関数にしか適用できない＞と笑止千万なる回答でございます。
ーーー
Ｙ＝Ｘ＾３
Ｙ’＝３Ｘ＾２　は
Ｘ＝０において増減が変化しないことは、貴殿が既に ＜(ーー)^2のように必ず正（厳密には負にならない）になるものは無視する。＞＜Ｘ＾２は無視して良い。＞と既出です。
Ｙ＝（Ｘ－２）＾５においてもしかり
Ｙ’＝５（Ｘ－２）＾４
Ｘ＝２において増減が変化しないことは、貴殿がすでに指摘済みの事項でございます。
　回答者たる者、質問文を良く読まずして回答するは、回答者失格の烙印を押されてれても故無きことではありませぬ。
ーーー
　では、なぜバカゲタ回答が続いてしまったのか？書くべきではありませぬが正直に書きます。回答者は＜知恵者であればあるだけ＞質問者様に、無礼な回答をする傾向があります。また質問文よっては＜回答目的＞ではなく、＜からかい目的＞と無意識になる事すらあります。私は貴殿がメキメキ腕を上げているのを知っています。しかしながら今回の質問には唖然としたのが本音です。＜まだ、かような事に疑問を持っているとは、＞です。当然の結果として、＜回答する気は全くありませんでした。＞しっかりした回答者様が多数おられるので。されど、あまりにも無意味な回答、無意味ならまだましで貴殿が誤解すると思われる回答が続いたため手を出してしまいました。
　どの回答者を＜信じるかは、貴殿の自由ではありますが、＞ときには、その回答者の＜回答履歴調査＞が必要です。＜回答内容＞ではなく＜回答態度＞の調査です。
　当方は必要に応じ＜質問履歴、回答履歴＞の調査をおこないます。中には、なんと＜男性としての回答、女性としての回答を併用する方がいる＞と知り、ＮＥＴ世界の＜虚像＞をあらためて痛感いたしました。
ーーー
　ひとつの方法として、このスレッドをしばらく締めず置く手があります。回答者はＰＲＩＤＥ（うかつににも貴殿の回答調査をしたのは極最近です、貴殿が語学に堪能である事を知り親近感が増しました。）が高く、自分自身への反論には非常に敏感です。
　もし当方の回答に誤謬がふくまれているならば、必ずや反応があります。
ーーー
　まだ、補足要求に答えておりませんでした。もどります。
＞＞＞＞＃１を含めばというのは
＃１　とはＣＯＮＴＥＸＴから明白なはずですが、貴殿の質問文の一部である、
＜ (ーー)^2のように必ず正になるものは無視する。＞及びそれを厳密にした。
＜厳密には絶対的に負にならない、＞
具体てきには、羅列した
Ｘ＾２≧０、（Ｘ＾２）＋１＞０、（Ｘ＾２）＋Ｘ＋１＞０、Ｘ＾４≧０、√（１－Ｘ）≧０、１＋COSＸ≧０、のことです。ひとつだけ例を書きます。
　Ｙ’＝【Ｘ＾２】【（Ｘ＾２）＋１】【（Ｘ＾２）＋Ｘ＋１】【Ｘ＾４】【１＋COSＸ】（Ｘ－３）
において（Ｘ－３）以外は悉く無視出来る。貴殿の記述通りの内容です。

　もし例外があるならば、＜本気に＞知りたいです。
９９％がどこから出た数値か、＜知りたいとは思いませんが。＞数学において＜９９％＞とは＜限りなく危ない＞を意味します。１００％と書いて始めて意味をもちます。
危ない＝ＨＡＶＥ　ＡＮ　ＥＹＥ　でしたね。（ダジャレ）

＞＞　100％大丈夫なのでしょうか。
100％大丈夫です。（貴殿が投稿内容をしっかり把握している事を前提として。）

回答No.4

kkkk2222

折角（ーー　）^２のように必ず正になるものは無視する。と書いてあるのに、
どの回答も回答になっていません。
貴殿のおもいちがいであれば、どうでもよいですが。
ーーー
＃０
＞＞X^x（これはＸ＞０でしか使用されぬため。）
誤植はわかりますが。
Ｘ＾Ｎ　としたら、問題ですが、おそらくは
e^N 　のようで、ＯＫです。
ーーー
＃１
＞＞（ーー　）^2のように必ず正になるものは無視する。

これさへ判っていれば例外はありません。
変ですね？？？。
ただ錯覚を招くＹ’はあります。（後述）
ーーー
増減だけならば、＃１だけで、変曲点は無視できます。
＃１　で充分です。面倒な２階微分は回避するべきです。
ーーー
＃１は厳密には
絶対的に負にならない、です。
Ｘ＾２≧０
（Ｘ＾２）＋１＞０
（Ｘ＾２）＋Ｘ＋１＞０
Ｘ＾４≧０
√（１－Ｘ）≧０

１＋COSＸ≧０
最後の式あたりではないかと・・。
ーーー
＞＞今日当てはまらないものに出会いました。
どんな関数でしょうが？？？

本当に知りたいなら、
出会ったＹ’を書くしか道はないです。
回答不可能です。
ーーー
＞＞2番目のものは99%ぐらい今のところ大丈夫ですが、
＃１を含めば、１００％ＯＫです。
＞＞漸近線など・・・
誤植というか、不連続点で結果的には漸近線になるばあいもある。
でＯＫです。
ーーー

補足

＃１を含めば、１００％ＯＫです。

本当でしょうか。＃１を含めばというのは具体的にどういうことでしょうか。ほかの方は限られた関数にしか通用しないといっていますが、入試問題では多分かなりの確率で大丈夫な気がします。しかし、100％大丈夫なのでしょうか。

回答No.3

quaRk-6

「増減表の1番左のy'の符号がマイナスで、その次が0でその次がプラスと思いきやマイナスというもの」は元の関数で言えば変曲点です。変曲点とは、グラフが「下に凸」か「上に凸」かが変わる点のことです。
例えば、y=-x^3ならばy=0のところで「下に凸」から「上に凸」に変わりますよね。これが変曲点です。このときの増減表は
x -10000…… 0 ……10000
y　　1兆 　減　0　減　-1兆
y' 　-3億 　－　0　－　-3億
となりますよね。(y'=-3x^2に注意してください。)
どういうことかというと、
・０の前後ではプラスマイナスは逆転する。
は、y=ax^2+bx+c（二次関数）とかy=ax^4（４乗に比例）などの限られた関数にしか適用できないのです。
なぜならば、
プラスマイナスが逆転する
というのは、グラフがＵとか∩といった感じで、
増えていた y が減少に転ずる
　　　　　或いは
減っていた y が増加に転ずる
という事を意味だからです。
要するに、y'とは「yの増え方」を表しており、
「y'が負である」とは「yが減少している」
「y'が正である」とは「yが増加している」
「y'が０である」とは「yの変化が一時的に止まっている」
ということなんですね。
だから、微分の問題を解く時には、できるだけyのグラフを描くようにしてください。そして、y の変化を感じてください。

それでは、Good luck!!

回答No.2

kabaokaba

>・０の前後ではプラスマイナスは逆転する。

これは間違い．
変曲点でy'=0となるものはことごとく
符号は逆転しません．
つまり，3乗以上の因子があると駄目ですね．
例：y=x^3
y=(x-1)^5(x+1)^6

間違った規則を作るよりも
なぜ「前後で符号が変わらないか」を理解しましょう．

一度 0 になっても符号が変わらない関数なんての
中学校以来の y=x^2 です．
つまり，x=a で 0 になって，なおかつ符号が変わらない関数は
(x-a)^n (nは偶数)なんです．

x=aの近辺の「大雑把な挙動だけ」を考える場合は
(x-a)以外の因子は無視できるんですよ．
＃これがなぜかは自分で考えてみてください

回答No.1

gururinbus

y'のグラフを書けば符号は判断できるのではないのでしょうか？

また、

・増減表の端の値には極端な数値(±100000000)などを代入する。

と似た方法ですが極端に0に近い正の数や負の数(±0.00000001)などをを代入して調べてみるのはどうでしょう？