増減表について

質問

関数の増減と極値で、問題y=x√(x-4x^2)の増減表の書き方が分からなくて困っています。x-4x^2=tと置いた時dy/dx=1/2√x(1-8x)というのが出たんですけど・・・増減表がいまいちわかりません。
もしよろしければ、最初から説明してくれると助かります。途中で出た数字も合ってるのかわからないので・・・。

回答No.2

debut

x-4x^2=tと置いたとき、どう計算したんでしょうか？

y=f(x)*g(x)→y '=f '(x)*g(x)+f(x)*g '(x)
f(x)=x、g(x)=√(x-4x^2)より、f '(x)=1,g '(x)=(1-8x)/{2√(x-4x^2)}でしょう。
※y=√f(x)のとき、y '=f '(x)/{2√f(x)}

y '=√(x-4x^2)+x(1-8x)/{2√(x-4x^2)}
=√(x-4x^2)+x(1-8x)√(x-4x^2)/{2(x-4x^2)}
=√(x-4x^2){1+(x-8x^2)/(2x-8x^2)}
=√(x-4x^2){(2x-8x^2)+(x-8x^2)}/(2x-8x^2)
=√(x-4x^2){(3x-16x^2)}/(2x-8x^2)
=√(x-4x^2){(3-16x)}/(2-8x)
よって、y'=0より（0≦x-4x^2と、2-8xは０でないから0≦x＜1/4=4/16) x=0,x=3/16
ｘ０・・3/16・・1/4
y'０＋・０・－・ /

というふうになると思います。グラフはほんのちょびっとしか・・

お礼

公式から計算手順、とても分かりやすかったです。
お早い回答、ありがとうございました。

回答No.1

siitake

まず、（x-4x^2)が正にならないと関数自体が成立しませんね。
そのため、
x-4x^2 >= 0
を計算すると、
0 <= x <= 1/4
となります。

次に、式を簡単にするために、最初のxをルートの中に入れてしまい、
y=√(x^3-4x^4)
とします。
この状態で微分すれば、
y'=(3x^2-16x^3)/{2√(x^3-4x^4)}
となります。

分母分子をxで割ると、
y'=(3x-16x^2)/{2√(x-4x^2)}
となります。

あとは、y'=0を代入し、
x=0, 3/16　となります。

0<= x <= 1/4　の範囲で増減表を書けば完成です。

ちなみに私の計算によると、極値は
x=3/16 のとき　y=9/1024
です。
（間違ってたらごめんなさい）

お礼

式を変更して簡単に微分できるとは・・・参考になりました。
お早い回答、分かりやすい説明、ありがとうございます。