関数の増減と極値

質問

よろしくお願いします。

数学IIIの内容の問題なのですが、以下の問題が解答をよく読んでもわかりません。

次の関数の増減を調べて、その極値を求めよ。

y=√|x-2|　（ルートは全体にかかっています）

まず場合分けしてから関数をxについて微分して、それを=0とおき、増減表を書くといういつもの解き方をしようと思ったのですが、y'=0となるようなxが存在せず、行き詰っています。
解答は普通に増減表をかいて、横にグラフまで添えてあるのですが、この情報だけでどうやって増減表、グラフを書けばいいでしょうか。

回答No.10

alice_44

x ≦ 0 のとき f(x) = √(-x),
x ＞ 0 のとき f(x) = 1+√x
だと、f(x) に極値があって、
f(x) = -1/(xの2乗) には、極値がない。
これを区別するためには、
f'(x) だけ見てちゃだめってこと。

お礼

お礼が遅くなり、大変申し訳ありません。
たくさんの回答、本当にありがとうございます。
失礼ながら、ここに皆様へのお礼とさせていただきます。
おかげで問題を解くことができました。

ありがとうございました。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>「連続である」ことは必要ですよね。
極値の点で連続でなければならない
という定義は見つかりませんでした。

回答No.8

fukuroumine

y =√(|x-2|)

x<2のとき、
y =√(|-x+2|)
y' =-1/{2√(|-x+2|)}
x>=2のとき、
y =√(|x-2|)
y' =1/{2√(|x-2|)}

| x |...... | 2 |......|
| y'| - | / | + |
| y | rd | 0 |ru |
| | |極小| |

/ 値なし
rd　右下がり矢印
ru　右上がり矢印

よって、
x =2 の時極小値y=0
となります。

x =2 は場合分けの境界で、y'の定義域から除外される点ですので、
増減表のxの欄に登場します。

回答No.7

naniwacchi

「連続である」ことは必要ですよね。

回答No.6

alice_44

f(x) = 1/x などを考えると、A No.5 は、やや危険な香り。
基本に忠実に、A No.4 で考えるのがオススメです。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

A_NO_4　補足です。

微分係数が 正から負に切り替わる境目は極小点です。
極小点が微係数を持つ必要はありません。

参考「極値」
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/kyokuti.html

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

極小値は定義域の内点で、そこが最小値をとるようような近傍を
作れる点を指します。そこで微分可能である必要はありません。

x=2 は極小点で 極値は 0 です。

回答No.3

Tacosan

「y'=0となるようなxが存在せず、行き詰っています」ってどういうことだろう.

y=x という関数で同じようになったら, やっぱり同じように困るんだろうか.

回答No.2

noname#190065

絶対値の場合分けで、絶対値< 0とき√中プラスを考慮しましたか。また、x=2のときy の値は？

回答No.1

naniwacchi

ん？極値がいつも存在するとは限りませんよ。