数学III 関数 増減 微分

質問

y=x+（1/x ）の増減をしらべよ。
という問題なのですが　増減表を書くときにy'の最高次数に着目して増減表を右から埋めていく方法と素直に代入して+、-を判断する方法を習いました。

y’＝-1/x^2 +1となって最高次数が「-」なのですが、増減表y’の段の一番右の符号が「+」になるところがわかりません。
詳しくご教授お願いします。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足の質問の回答

>グラフの概形はわかるのですが、y’の最高次数に注目したときのやり方がいまいちわかりません。y’の最高次数の- 1/x^2 の符号はマイナスなのになぜ増減表の一番右の符号が+になるのでしょうか？？

y'=1-(1/x^2)
の最高次の項は1です。したがって最高次の項の符号は+です。
-(1/x^2)=-x^(-2)なのでこの項は最高次の項ではなく、最低次の項になります。この項の符号ではなく定数項の「１」の符号「+」がｘ<-1の範囲でのy'の符号になります。

お分かり？

お礼

詳しくありがとうございました！

補足

文字式の指数がマイナス乗の時は最高次数にはならずに掛け合わせている文字の数がおおいものが最低次数になるということですか？
例えば　f（x）＝x＾(-3) + x^(-2)-２
という関数なら、最高次数が-２で、最低次数がx＾(-3)
ということでいいのでしょうか？？

回答No.2

info222_

y=x+（1/x ）
y'=1-(1/x^2)=(x-1)(x+1)/x^2
y''=2/x^3

停留点:y'=0より　x=1,-1

x<-1,x>1のとき y' >0、 増加関数
x=0のとき　y, y'未定義
-1<x<0, 0<x<1 のとき y'<0、減少関数

x=-1のとき　y'=0, y''=-2<0、上に凸、極大値y=-2
x=1のとき y'=0, y''=2>0、下に凸、極小値y=2

漸近線：x=0, y=x

増減表とグラフは添付図の通り。

補足

グラフの概形はわかるのですが、y’の最高次数に注目したときのやり方がいまいちわかりません。y’の最高次数の- 1/x^2 の符号はマイナスなのになぜ増減表の一番右の符号が+になるのでしょうか？？

回答No.1

Willyt

微分式を通分した方がいいですね。

y'=(1+x)(1-x)/x^2 　となりますよね。

ですから　左から x<-1, -1≦<1, x≧１　の欄を作ると　プラス→マイナス→プラスと変って行くことが分ります。

したがって　ｘ＝－１は頂点、 x=1 は谷底であることがはっきり分りますね。但し、 x=0 のところでｙの値が-∞にまで落ち込み、これをすぎると　+∞から谷底に向って降りて来るという図になります。また、ｙ＝ｘという原点を通る直線は与式のグラフの漸近線になり、ｘの値が正負両方で増加するに従ってグラフはこの直線に限りなく近付きます。

補足

グラフの概形はわかるのですが、y’の最高次数に注目したときのやり方がいまいちわかりません。y’の最高次数の- 1/x^2 の符号はマイナスなのになぜ増減表の一番右の符号が+になるのでしょうか？？