微分の増減表について

質問

微分の増減表について、
増減表にはx,y',yとそれぞれ書いていきますが、
グラフを書いたり、極大・極小を知る上で
y'の欄の必要性が分かりません。
恐らく増減表の本質を知らないのだと思います。
お教えください。

回答No.2

QoooL · ベストアンサー

＃１の方のご回答に加えて。

１階微分　ｙ’　でグラフのある程度の形がわかります。

ｙ’＝0　の点で　右上がりが右下がりに変わる　のはよくある

話ですが、ずっと右上がりのままでも　ｙ’＝0　となる点には意味があります。

例えば、もう高次方程式を習っていることを祈りますが、
　　　ｙ＝ｘ^3
というグラフに考えましょう。
放物線じゃないですけど、放物線を半分に切って、片方だけ逆さまにしてくっつけたような形です。知らなければグラフの形は検索してください。

　　　ｙ’＝3ｘ^2
で、ｘ＝0　のときに　ｙ’＝0　となりますが、
ｙ＝ｘ^3　という式だけ見るとずっと増加していることしかわからないのが、微分することによって、
　　　ｘ＝0　のときに　一度　傾きが0になる　ことがわかる
というわけです。

ｘ　と　ｆ（ｘ）　（またはｙ）の値だけ増減表に書けばグラフを描ける（ｙが増えているか減っているかもわかる）のに、
なんで　ｆ’（ｘ）　（またはｙ’）まで描かなければならないんだろう、

という質問だと思ったので、「ただ増えているか減っているかだけでなく、グラフの形も予想するため」ですよ、とお答えしておきます。変曲点という名前もそのうち習うでしょうね。極大値極小値を取る点です。
ｙ’＝0　になるところで極大値極小値を取ることが多いので、「どこで極大・極小なのか」表に書き込む意味があるでしょう？
ｙ’＝0　になるのは　ｘ　がいくつのときか、を書く意味がありますよ。

さらに　ｙ”　（２階微分）まで調べてグラフの形を特定する問題も習うと思いますから、今のうちから増減表を正確に描けるように練習してください。

回答No.1

asuncion

教科書にしっかり書いてあると思います。
y' > 0
の区間では、グラフは右上がり
y' = 0
の点では、グラフは水平
つまり、極大・極小・最大・最小のいずれか
y' < 0
の区間では、グラフは右下がり