２次不等式/ある範囲で
２次不等式/ある範囲で
-1<x<3の範囲でx^2-4ax+2a+6>0が常に成り立つようなaの範囲を求めよ。
指針 グラフが下に凸である２次関数f(x)について、a<x<bにおいてつねにf(x)>0となる条件を求めてみよう。
y=f(x)の取りうる値の範囲は、軸x=pの位置（頂点の位置）によって
1°p<=aのとき、f(a)<y<f(b)
2°a<p<bのとき f(p)<=y<max｛f(a),f(b)｝
3°b<=pのとき f(b)<y<f(a)である。
したがって、求める条件は、1°のときf(a)>=0,2°のときf(p)>0,3°のときf(b)>=0となる。1°や3°のとき「>=」になることに
注意しよう。「>」とするミスが多い。
1°のとき、f(a)>=0ならf(b)>=0も成り立つ(3°も同様）ので、1°と3°をまとめて、求める条件は、頂点がa<x<bにあれば頂点
のｙ座標>0、なければf(a)>=0かつf(b)>=0
教えてほしところ
１ 1°のとき、f(a)>=0ならf(b)>=0も成り立つ(3°も同様）ので、1°と3°をまとめて、求める条件は、頂点がa<x<bにあれば頂点
のｙ座標>0、なければf(a)>=0かつf(b)>=0とまとめられるのが理解できません。
1°のときは、f(a)>=0から範囲が求まり、かつ条件p<=aを満たしている範囲です。
2°のときは f(b)>=0から範囲が求まり、かつ条件b<=pのとき を満たしている範囲です。
これを合わせた範囲がなければf(a)>=0かつf(b)>=0と何故、同じ範囲になるのか疑問です。
同値と言える理由を教えて下さい。
お礼
図解入りでわかりやすかったです。ありがとうございました。