2次不等式

質問

高校１年の問題なのですが
放物線y=x^2-2ax+a+2とx軸が次の範囲において異なる2点で交わるとき、定数aの値の範囲を求めよ。
(1)x>1
答え:2<a<3
(2)1点はx<1,他の1点はx>1
答え:a>3

D>0ということしか解らず、ほかの題意を満たすための条件がよく解りません。
問題集には解説が載ってないので困っています。
どなたか解説をお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

D>0は
放物線y=x^2-2ax+a+2とx軸が2点で交わる条件です。
または
x^2-2ax+a+2=0が異なる２実根を持つ条件ともいえます。

質問の問題では
放物線y=f(x)=x^2-2ax+a+2
のグラフ（下に凸の放物線）を描いて考えるようにします。
（グラフを描いて条件を考える概念も重要ですのでマスターして下さい。）

(1)の必要十分条件は以下のようになります。
グラフを描いて確認下さい。

放物線の対称軸x=a＞1
判別式D/4=a^2-(a+2)＞0
f(1)=3-a＞0
この３条件を同時に満たす範囲を求めると答になります。

(2)の必要十分条件は以下のようになります。
グラフを描いて確認下さい。

f(1)=3-a＜0
この条件があれば下に凸の放物線ですからx軸と２交点を持ち、かつx=1の両側に交点が分かれます。
条件式を解けば答になります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
やっと解けて助かりました。
グラフを描くこともマスターしたいと思います。

回答No.3

take_5

グラフも良いが。放物線がx軸と交わる時の条件だから、方程式の問題に還元される。

x^2-2ax+a+2＝0の2つの解をα、βとする。

(1)x>1
α＞1、β＞1より、判別式＞0、（α-1）＋（β-1）＞0、（α-1）*（β-1）＞0が条件であるから、解と係数の関係から実際に計算して、2＜a＜3。

(2)1点はx<1,他の1点はx>1
α＞1、β＜1とすると、（α-1）*（β-1）＜0が条件.　解と係数の関係から実際に計算して、a＞3。

お礼

ありがとうございます。
そんな方法もあったんですね。

回答No.2

nious

y=f(x)=(x-a)^2-a^2+a+2としてからグラフから考えると、

(1)軸：x=a＞1かつ最小値：f(a)＜0かつf(1)＞0を満たせばいいでしょう。
(2)これは単にf(1)＜0だけでいいでしょう。

お礼

ありがとうございます。
理解することができました。