二次不等式について

質問

全ての実数x、yに対してx^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1≧0が成り立つaの値の範囲を求める問題です
x^2+2y(1-a)x+y^2+(a-2)y+1≧0にxについて変形してから手が出せません
解説お願いします

回答No.1

dreamfighter · ベストアンサー

x^2+2y(1-a)x+y^2+(a-2)y+1≧0をxについての2次不等式とみてしまう（yを定数だと思う。）

xについて平方完成すれば、

(x+〇)^2+(yの式)≧0　となるでしょう。

(x+〇)^2≧0　ですから、(yの式)≧0が条件。

(yの式)≧0は最高次数に文字がかかっているので、１次式になってはいけない条件を忘れずに。

ひとまずこれで頑張ってみましょう。

お礼

わかりました
ということで
-ay^2+(3a-2)y+1≧0
がでてきました

ただ、この不等式からどうやれば解るのでしょうか

回答No.6

dreamfighter

>>f(0)のとき-1≦0で満たしませんか？

確かにそうですね。でもf(10)とかは？？y>1/2 だったらf(y)≧0を満たしませんよね。

この問題は「全ての実数x、yに対して」とあるから、不適な実数yの値があってはいけないのです。

お礼

なるほど 全てに当てはまらないとダメなのですね
ありがとうございます！

回答No.5

dreamfighter

＞＞-ay^2+(3a-2)y+1≧0　がでてきました
あれ？僕のと違う。計算ミスしてない？？

-a(a-2)y^2 + (a-2)y +1≧0では？

-かけて、
a(a-2)y^2 -(a-2)y -1≦0

f(y)=a(a-2)y^2 -(a-2)y -1とおく。（最高次数の係数の文字）＝0は別扱いする。

（１）a=0のとき
f(y)=2y-1　これではすべての実数yでf(y)≦0を満たさないので不適。

（２）a=2の時
f(y)=-1 これはすべての実数yでf(y)≦0を満たす。

（３）0<a<2のとき。
f(y)は上に凸の２次関数だからすべての実数yでf(y)≦0を満すには、（f(y)の頂点のy座標）≦0　であればいい。この範囲と0<a<2を合わせる。

（４）a<0またはa>2のとき。
f(y)は下に凸の２次関数だからすべての実数yでf(y)≦0を満たさないので不適。

お礼

なるほど ありがとうございます

補足

補足質問なのですが

（１）a=0のとき
f(y)=2y-1　これではすべての実数yでf(y)≦0を満たさないので不適。

で、f(0)のとき-1≦0で満たしませんか？

回答No.4

alice_44

-ay^2+(3a-2)y+1≧0 には、ならないでしょう？

x^2+2y(1-a)x+y^2+(a-2)y+1
= { x+y(1-a) }^2 - (1-a)^2y^2 + { y^2+(a-2)y+1 }
= { x+y(1-a) }^2 + { (2a-a^2)y^2+(a-2)y+1 }
だから、
(2a-a^2)y^2+(a-2)y+1≧0 を示すことになります。

これが任意の y で成り立つためには、まず
2a-a^2>0 でないといけませんよね。

その上で、再度 y について平方完成して、
定数項の正負を検討すればよいでしょう。

お礼

あれ…-2ay^2+ay-2y+1≧0でもないんですか…
頭が混乱してきたので少し休みます

回答No.3

naniwacchi

#2です。

＞ay^2-3ay+2y-1≦0だと、グラフは上に凸ですね
はたしてそうでしょうか？
見た目は上に凸っぽいですが、aの値によって違ってきますよ。
#1さんが書かれている内容も、そのポイントに含まれてきます。

あと、左辺の ay^2-3ay+2y-1ですが、こうにはならないかと。
もう一度「平方完成したところ」と「押し込められなかったところ」を
注意して計算しなおしてみてください。
xyの項を押し込めるのが目的ですよ。

お礼

ay^2-3ay+2y-1という式が0以下ということはx軸と、その下に存在し、かつその方程式がx軸より上にこないのですから上に凸ではないのですか？

x^2+2y(1-a)x+y^2+(a-2)y+1
=x^2+2y(1-a)x+{y(1-a)}^2-{y(1-a)}^2+y^2+(a-2)y+1
={x+y(1-a)}^2-{y(1-a)}^2+y^2+(a-2)y+1
={x+y(1-a)}^2-(y-ay)^2+y^2+ay-2y+1
={x+y(1-a)}^2-y^2-2ay^2+y^2+ay-2y+1
={x+y(1-a)}^2-2ay^2+ay-2y+1≧0

{x+y(1-a)}^2≧0より

-2ay^2+ay-2y+1≧0でしたね…すみません

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

この手の問題だと、2乗の数が 0以上になることを用いて
○^2+ (0以上の項)≧ 0

のような形に持ち込んでしまうことが多いですね。

いまの問題であれば、xyの項がちょっとやっかいなので
○^2に押し込めてしまうのがよいかと思います。

あとは、「押し込められなかった部分」が 0以上になる条件を考えていきます。
yの 2次不等式が出てきますが、それを考える上で aの値で場合分けが必要になります。
「上に凸か下に凸か」を考えてみてください。

お礼

-ay^2+3ay-2y+1≧0
つまり
ay^2-3ay+2y-1≦0だと、グラフは上に凸ですね
ここから場合分けとはどう言うことでしょうか？