２次不等式/ある範囲で

質問

２次不等式/ある範囲で

-1<x<3の範囲でx^2-4ax+2a+6>0が常に成り立つようなaの範囲を求めよ。

指針 グラフが下に凸である２次関数f(x)について、a<x<bにおいてつねにf(x)>0となる条件を求めてみよう。
y=f(x)の取りうる値の範囲は、軸x=pの位置（頂点の位置）によって
1°p<=aのとき、f(a)<y<f(b)
2°a<p<bのとき f(p)<=y<max｛f(a),f(b)｝
3°b<=pのとき f(b)<y<f(a)である。
したがって、求める条件は、1°のときf(a)>=0,2°のときf(p)>0,3°のときf(b)>=0となる。1°や3°のとき「>=」になることに
注意しよう。「>」とするミスが多い。
1°のとき、f(a)>=0ならf(b)>=0も成り立つ(3°も同様）ので、1°と3°をまとめて、求める条件は、頂点がa<x<bにあれば頂点
のｙ座標>0、なければf(a)>=0かつf(b)>=0

教えてほしところ
１ 1°のとき、f(a)>=0ならf(b)>=0も成り立つ(3°も同様）ので、1°と3°をまとめて、求める条件は、頂点がa<x<bにあれば頂点
のｙ座標>0、なければf(a)>=0かつf(b)>=0とまとめられるのが理解できません。
1°のときは、f(a)>=0から範囲が求まり、かつ条件p<=aを満たしている範囲です。
2°のときは f(b)>=0から範囲が求まり、かつ条件b<=pのとき を満たしている範囲です。
これを合わせた範囲がなければf(a)>=0かつf(b)>=0と何故、同じ範囲になるのか疑問です。
同値と言える理由を教えて下さい。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

少し式の形（出てくる文字）にこだわりすぎているのかもしれませんね・・・。＾＾

いまの問題は先日も質問されていた「2次関数の最大・最小」の問題と内容とほぼ同じです。
中学校の数学で言えば「値域」の問題です。

ポイントは単に以下の点だけです。
下に凸の 2次関数：y＝ f(x)について、ある区間で f(x)＞ 0となるためには、最小値＞ 0であればよい。

1°, 3°は、最小値をとるところが左端か右端かだけの違いであって、区間の端っこということは同じです。
最小値が正であれば、当然最大値も正ですよね。

「まとめられる」というのは、結果論だと思った方がよいです。
問題集などの解説は「うまく」書かれていることが多いですが、別に個々の場合分けとして考えても答えは合うはずです。
わたしがこの問題を解くのであれば、1°ー3°の場合分けをそのままします。
そして、最後に場合分けを組み合わせて答えを出します。

あくまでもポイントは「ある区間（定義域）における最小値が正」これだけです。＾＾