2次不等式のときかた

質問

ｘについての不等式、x^2-2ax+a+6≧0
(1)すべてのxについて成り立つような定数aの範囲を求めよ。
(2)x≧0のすべてのxについて成り立つような定数aの範囲を求めよ。

こういう問題なのですが、軸と頂点を求めるために、
y=x^2-2ax+a+6として
y=(x-a)^2-a^2+a+6
=(x-a)^2-(a-3)(a+2)
と変形したのですが、ここからどのようにもっていけばいいか・・・
どなたかわかりやすく教えていただけませんでしょうか？

回答No.2

passingman · ベストアンサー

y=(x-a)^2-(a-3)(a+2)

ここまでもってこれたら、もうこっちのもんですよ。

＞(1)すべてのxについて成り立つような定数aの範囲を求めよ。
再び2次関数として見ます。グラフを想像してみてください。
「全てのxについて成り立つ」ので、常にy＞0であるグラフ、
すなわち下に凸でx軸と共有点も無ければ、接してすらないグラフのことです。
常にy＞0になればいいので、このグラフの最小値、つまり頂点のy座標＞0であればOKということです。
したがって、
-(a-3)(a+2)＞0
(a-3)(a+2)＜0
-2<a<3…(答)

＞(2)x≧0のすべてのxについて成り立つような定数aの範囲を求めよ。
これは場合分けが必要です。
(1)では「全てのxについて」だったので、軸がどこにあろうが頂点のy座標>0でさえあれば良かったのですが、
この場合は軸(=a)の位置によって条件が変わってきます。

(ⅰ)a<0のとき
a<0のときのグラフ(つまり軸がy軸より左側にある)を想像してみてください。
x≧0のとき全てのxについて成り立つには、f(0)のときyが0より上であればいいということが分かります。
よって、
a+6>0
a>-6
(ⅰ)より、-6<a<0

(ⅱ)a=0のとき
これも同様にグラフを想像してみてください。
このときは、グラフの頂点のy座標が0より大きければOKなのが分かりますよね。
このときのaの値の範囲は（１）で既に求めているのでこれをそのまま利用して、
-2<a<3
(ⅱ)より、a=0

いよいよ最後です。
(ⅲ)a>0のとき
これもグラフを想像してみてください。
(ⅱ)と同様に頂点のy座標が0より上であればOKなのが分かります。
よってこれも(ⅱ)と同様に
-2<a<3
(ⅲ)より、a>0なので、これと合わせて
0<a<3

以上、(ⅰ)～(ⅲ)より、求めるaの値の範囲は、

-6<a<3・・・(答)

最後にこんなこと言うのもなんですが、自分は高1なのでミスってるかもしれません；；；
違ってたらすいません；；；
間違ってたら補足質問下さい。
では・・・

回答No.9

passingman

No.2です。
早い段階で回答したにもかかわらず、とんでもないミスを犯してしまって皆様を混乱させてしまって大変申し訳ありません。
もう他の皆様のご回答の通り、“≧0”なので、自分の答には全て統合がつかないといけません。
なので最終的な正答は
(1)-2 ≦ a ≦ 3
(2)-6 ≦ a ≦ 3
です。
こういう場合分けの問題は軸が分からない、グラフの形(上に凸か下に凸か)、定義域が動くか動かないか、
など様々なパターンで場合分けの仕方も変わってきます。
まずはグラフを描いてみて、どの位置にグラフのどの部分があればいいのか、
などをよく吟味していけば自ずと場合分けは分かります。
では頑張ってください。

回答No.8

kumipapa

＞　すなわち「放物線の軸が負でx=0で左辺≧0の条件」
＞　を(1)で求めたaの範囲に足せば答えが出てくる。
＃７さんには申し訳ないけど、結局これってしっかり場合分けしてるでしょうに。変域 [0,∞)の中に軸が無い場合（a＜0）について特別に考慮してるんだから。また、論理が緻密でなく、質問者への説明としては不適です。なぜ a＜0 を考慮しなければならないか、という点が解答を作る上で大切なポイントですから、その点をきちんと示さなければ減点対象です。

#2,#3さんのように、x≧0という変域においてyが最小となるxが、a＜0の場合はx=0のときであり、a≧0の場合はx=aの時であることをはっきりと言って、それぞれの最小値≧0となる条件を出さないと駄目です。そういう説明もなしにいきなり a＜0 の場合の条件を出して(1)の解と合わせただけでは、なぜ a＜0 を考慮したのか不明であり数学の解答としては論理が成立していません。自分が分かっているからといって、解答を作るときには説明をむやみに省略してはいけません。あくまでも緻密に。
#7さんには申し訳ないけど、#2,#3さんの回答を手本とすべし、です。(#2は≦が＜になっちゃってたけどね、それはご愛嬌で）

回答No.7

yagoro

>なぜ場合わけする必要があるのか
本来なら場合分けは必要だけど
この問題なら場合分けなしでもいけると思うよ。

(1)よりすべてのxについて不等式が成り立つaの範囲を求めた
(2)ではx≧0っていうふうに条件がゆるくなってる。
だから左辺がx≦0で負になるかもしれないけどx≧0で正になる条件
すなわち「放物線の軸が負でx=0で左辺≧0の条件」
を(1)で求めたaの範囲に足せば答えが出てくる。

誘導を意識した。
でもグラフを想像して場合分けを考えるのも大事。

回答No.6

kumipapa

解法は寄せられているのでアドバイスだけ。

＞　y≧0が成り立つためのaの範囲だから、
＞　○○≦a≦○○
＞　というふうに等号を含む、かなと思ったのですが・・・
正解。等号を含む。(1)は -2 ≦ a ≦ 3、(2)は -6 ≦ a ≦ 3 が正解

＞　軸x=aがy軸よりも左にあるか、右にあるかで場合わけする・・んですよね？？
＞　なぜ場合わけする必要があるのか、ですが、これはもうおおまかな
＞　グラフを何種類か書いてみて判断していくしかないでしょうか？
この手の問題に質問される方の共通点は、最初にグラフを書いて考えていないこと。グラフも書かずに式をいじろうとする。何のために平方完成したの？放物線の軸を調べ、頂点の座標を調べるためでしょう。じゃあ、なぜ、それを調べようとしたのか。放物線だからとりあえず平方完成してみた、判別式を解いてみたでは、芸を覚えようとしているだけ。学問じゃあないね。

グラフを書く。そして、与えられた条件を満足するグラフはどういうグラフなのかを考える。軸の位置によって頂点の座標はどうなってないといけないのか、与えられた変域（本問ではｘ≧0）の端で関数の値はどうなっていなければならないかなどなど、全てグラフから与えられる。そして、その結果、場合分けが必要となったりする。まずグラフを書いて、何をすればいいのかを考えてから、それに応じて式をいじる。
グラフを書くのは（慣れるまでは）唯一無二の思考方法と考えるべきでしょう。グラフを書かない人って、何を教ても同じような質問を繰り返す人が多いんだよね。結局、グラフを書かないってのは、分かろうとしていないっていうのと同じなんですよ。

回答No.5

nago_onsen

>>軸x=aがy軸よりも左にあるか、右にあるかで場合わけする・・んですよね？？

その通りです．場合わけについては，passingmanさんに丁寧にしてもらっているので，そちらをご参照のこと．．

回答No.4

nago_onsen

NO.3の補足です．
数式の引用が(1)・(2)となっていますが，(A)・(B)の間違いです

お礼

みなさんご回答本当にありがとうございます。
少し答えが分かれてるみたいなのですが、
y≧0が成り立つためのaの範囲だから、
○○≦a≦○○
というふうに等号を含む、かなと思ったのですが・・・

軸x=aがy軸よりも左にあるか、右にあるかで場合わけする・・んですよね？？
なぜ場合わけする必要があるのか、ですが、これはもうおおまかなグラフを何種類か書いてみて判断していくしかないでしょうか？

回答No.3

nago_onsen

(1)について
結局，不等式
　　(x-a)^2-(a-3)(a+2)≧0　　－(A)
が全ての実数について成り立てば良い訳です．
で，(1)式左辺の「ｘについての」最小値は-(a-3)(a+2)です．
コレを言い換えると，
　「(1)式左辺に全てのｘを代入しても，必ず-(a-3)(a+2)より大きくなる」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－(B)
となります．
(1)と(2)をあわせると，
　「-(a-3)(a+2)≧0が成り立つ」
となるわけで，これをとけば　-2≦a≦3　となります．

(2)について
こんどは，不等式
　　(x-a)^2-(a-3)(a+2)≧0　　－(A)
"0以上の"全ての実数について成り立てば良い訳ですが，少々厄介です．
ですが基本的なところは(1)に同じです．
つまり，(1)式左辺の，x≧0における最小値を求め，それが0以上であるとすればＯＫです．
そのかわり，(1)式左辺の式のグラフの軸の式が，x=aとなりますよね？
そこで場合わけが必要になってきます．
場合わけによって最小値を求めるのは数学Iの2次関数でやっていると思うので，ひとまず自分でやってみては？？

ちなみに答えは　-6≦a≦3　です．

回答No.1

noname#58425

(1)についてのみです。(2)は結構厄介な(めんどくさい)問題なような気がします。

質問者様のアプローチでいけば，最後に変形した式より，放物線の頂点は(a,-(a-3)(a+2))となります。放物線が下に凸であることを考えれば，xが全実数を動く時，頂点の部分でyは最小になると分かります。つまり，最小値は -(a-3)(a+2) です。
また，「最小値が0以上」であることと「いつも0以上」であることは明らかに同じこと(同値)ですので，求める条件は， -(a-3)(a+2) が0以上であるということです。普通に2次不等式を解いて，答えを求めてください。

そのアプローチよりも分かり易いと思われる方法があります。
全てのxについて
x^2-2ax+a+6≧0
が成り立てばよろしいということですね。関数
y=x^2-2ax+a+6
を設定し，このグラフ(下に凸の放物線)を想像してください。全てのxについて
x^2-2ax+a+6≧0
が成り立つということは，先ほどの関数が，xの値によらず0以上であるということです。それは，放物線とx軸とが交点を持たないこと，言い換えれば，2次方程式
x^2-2ax+a+6=0
の解が存在しないということと同値です。あとは，判別式
D=b^2-4ac
の値が負になる条件を求めれば，そのまま答えになります。

なお，私の暗算だと「-2より大きく3未満」となりました(間違ってるかもしれないので参考までに)