二次不等式の問題です

質問

-x^2＋a＜y＜x^4-3x^2＋1…※に関して、次の条件が成り立つようなaの範囲を求めよ。
ｙがどのように与えられても、そのｙに応じて※が成り立つようなｘが存在する。
（一対一対応の数学I、p51)

解）
※⇔x^2＞a-yかつx^2(x^2-3)＞y-1
であるから、ｙがどのように与えられても、十分大きいxを取れば、※は成り立つ。
よって、求めるaの範囲はすべての実数

この説明がいまいちわかりません。「yがどのように与えられても」と書いているので、十分大きいyを代入するならまだしっくりきますが、なぜ十分大きいxを代入していいのでしょうか？
また、他の解答の仕方はないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

Quattro99 · ベストアンサー

y=-x^2＋aでxをどんどん大きくしていく、あるいはどんどん小さくしていくとyはどんどん小さくなります。
y=x^4-3x^2＋1でxをどんどん大きくしていくとあるいはどんどん小さくしていくとyはどんどん大きくなります。
これらとy=kをグラフに描いて比べてみると、aがいくつであってもkがいくつであっても、ずーっと端っこの方へいけば、y=-x^2＋aのグラフが一番下でy=x^4-3x^2＋1が一番上になります。kがどんなに大きくても、あるいは小さくても（つまり、yがどのように与えられても）、十分大きいx（あるいは十分小さいx）の時を考えれば、その不等式は成り立ちます。
私には、なぜx^2＞a-yかつx^2(x^2-3)＞y-1のように変形してから考えているのかよくわかりませんが、十分大きいxを考えるのはこういうことだと思います。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.2

take_5

＞また、他の解答の仕方はないでしょうか？

x^2＝tとすると、t≧0の範囲で、－t+a＜y＜t＾2-3t＋1が成立する条件を求めるだけ。
y＜t＾2-3t＋1のグラフと－t+a＜yのグラフを書けば、すぐわかるんじゃないか？

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。