方程式と不等式の問題

質問

整式A＝√2xy－2√5x＋2√5y－10√2　を考える。
A=√2(x＋√10)(y－√10)

(1)y＝x-6のときA＜0を満たすxの値の範囲は？
y=x-6を代入して
A=√2(x＋√10)(x－6－√10)

このあとの計算方法がわかりません。
途中計算を詳しく書いて教えていただきたいです。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

A = √2・xy - 2√5・x + 2√5・y - 10√2
= √2(xy - √10・x + √10・y - 10)
= √2(x - √10)(y - √10)

y = x - 6を代入する。
A = √2(x - √10)(x - 6 - √10) < 0
両辺を√2で割っても、不等号の向きは変化しない。
(x - √10)(x - 6 - √10) < 0
この不等式の不等号を等号に変換した2次方程式を考える。
(x - √10)(x - 6 - √10) = 0
x = √10, 6 + √10
このことから、f(x) = (x - √10)(x - 6 - √10)のグラフと
x軸との交点のx座標は√10, 6 + √10の2個である。
f(x)のグラフと当該の不等式とを考え合わせると、
今回の問題は、f(x)のグラフがx軸よりも下に来る（理由：不等式が< 0だから）xの範囲を求めることに帰着する。
よって、求める解は√10 < x < 6 + √10

お礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございます。
この方法でやっと納得することができました！
最初から丁寧に計算方法を書いてくださって本当にありがとうございます。
参考書よりずっとわかりやすかったです。

回答No.3

asuncion

おっと失礼。
質問者さんの式の展開の方が正しいです。

= √2(xy - √10・x + √10・y - 10)
= √2(x + √10)(y - √10)

y = x - 6を代入する。
A = √2(x + √10)(x - 6 - √10) < 0
以下、先ほどの私の回答におけるx = √10をx = -√10と読み替えてください。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

Dr-Field

A=√2(x＋√10)(x－6－√10)

Ａ＜０ ならば、(x＋√10)＞0 かつ (x－6－√10)＜0・・・(1)
または、(x＋√10)＜0 かつ (x－6－√10)＞0・・・(2)の、どちらかでなければいけない。

(1)の場合、－√10＜x かつ x＜6＋√10であるが、このようなxは－√10＜x＜6＋√10 の範囲で存在する。

(2)の場合、x＜－√10 かつ 6＋√10＜xであるが、このようなxは存在しない。

以上より、－√10＜x＜6＋√10 が答え。

お礼

ありがとうございます。
私は(2)のやり方で答えを出してしまっていました。
気づかせてくださってありがとうございました。