２次不等式の問題なのですが

質問

２次不等式の問題なのですが
３ｘ＾２＋２ｘｙ＋３ｙ＾２＝８をみたすｘ、ｙに対してu=x＋y v=xyとおく

ｋ＝u＋vがとる範囲を求めよという問題はどうやるのでしょうか？

回答No.1

hermite · ベストアンサー

とりあえず，uとvのどっちかを消して１変数にしましょう．
3x^2+2xy+3y^2=3(x^2+y^2)+2xy
=3((x+y)^2-2xy)+2xy
=3(x+y)^2-4xy
=3u^2-4v=8
v=3/4*u^2-2
よって
k=u+v=3/4*u^2+u-2
あとは，２次関数の最大・最小の問題として解けばOKです．

回答No.4

mister_moonlight

書き込みミス。

(誤)u=x＋y v=xy　であるから、uとvは　t＾2－(u＋v)t＋uv＝0の2つの実数解。従って、判別式≧0.

(正)u=x＋y v=xy　であるから、xとyは　t＾2－ut＋v＝0の2つの実数解。従って、判別式≧0.

回答No.3

mister_moonlight

簡単な問題なんだが、回答者2人ともに致命的なミスをしているので書き込む。

u=x＋y v=xy　であるから、uとvは　t＾2－(u＋v)t＋uv＝0の2つの実数解。従って、判別式≧0.
u＾2-4v≧0、3u＾2-4v＝8　から、｜u｜≦2.
以上から、ｋ＝u＋vをuの2次関数として、｜u｜≦2の範囲で最大・最小を考えると良い。
2人の回答者の答えでは、最小値しか出ない。

別解としては

u＾2-4v≧0、3u＾2-4v＝8　、｜u｜≦2　をuv平面上に図示し、直線：ｋ＝u＋vを動かして、ｋの値の範囲を定める。

回答No.2

Anti-Giants

u = x + y.
v = xy.

3u^2 = 3x^2 + 6xy + 3y^2.
-4v = -4xy.

3u^2 -4v = 8.
v = 3/4u^2 -2.

k = u + 3/4u^2 -2.

あとは等式にy=u-xを代入して、xについての判別式≧でu^2≦0となり、ただの二次方程式の最大最小問題。