2次不等式でわからないところがあるのでお願いします

質問

使っている参考書に
ax^2+bx+c<0
この式を分解すると

y=f(x)=ax^2+bx+c
y=0 (x軸)

するとy=f(x)　<　0　ということだ

という感じで書いてあるのですがいまいちわかりません。
なぜax^2+bx+c<0を分解すると

y=f(x)=ax^2+bx+c
y=0 (x軸)

こうなって

y=f(x)　<　0　

こうなるのでしょうか?
初歩的な質問だと思いますがよろしくお願いします

回答No.4

MarcoRossiItaly · ベストアンサー

皆さんが役に立つことをいろいろ教えてくださっているので、それぞれ、よくお読みくださいね。私は、どこまで易しく伝えられるかということにトライしてみますね（笑）

＞……のですがいまいちわかりません。
　なぜ……すると……こうなって……こうなるのでしょうか?

確かに、そもそも問題の解答者は何を求めようとしているのかが、分かってらっしゃらないという感じです。

まず、「ax^2 + bx + c」という x の2次式があります。この長い式を何遍も書くのはかったるいので、「f(x) = ax^2 + bx + c」と置くことに「決めました」。すると、解こうとしている最初の不等式は、「f(x) < 0」になりましたね？

「「f(x) < 0」を解く」とは、この不等式を満たすような「x の範囲」を求めるということ。つまり、「f(x) = -1」とか、「f(x) = -12.3」とかになるような x が分かったら、それは「不等式の解である（不等式を満たす）「x の範囲」」に、含まれているはず。そうでなければ、解けたことにならないので。

問題の不等式の中には「＜」と書いてあって、「≦」ではないのですが、あえて「＝」のとき、つまり左辺がゼロに等しくなるような x の値を知りたいと思います。それが分かれば、何となく、左辺が負になる x の範囲も分かりそうですね。要するに、「f(x) = 0」の解を先に求めて、それから不等式の解である x の範囲に、話をつなげていくわけです。

さて、係数(a, b, c)がいくつなのか知らないけれど、何とか頑張って「f(x) = 0」という2次方程式を解いたところ、解は「x = α, β」となりました。これはつまり、「f(x) = a(x - α)(x - β)」というふうに因数分解できるということでもあります。「f(α) = f(β) = 0」となるようなαとβを求めたということですからね。

で、x = α, βで f(x) がゼロになるのならば、x がそれ以外の値のとき、 f(x) は正か負になるわけです。「x < α」、「α < x < β」、「x > β」の3区間で、f(x) の符号はどうなるのでしょうか？

それを検討するために、グラフというツールが使えると言っているわけです。x-y 平面にグラフを描くのだから、y という文字を使って、2次関数「y = f(x)」のグラフを「考えます」。また、さっき x の2次方程式「f(x) = 0」を解いたわけだから、直線「y = 0」のグラフも考えたほうがよさそうです。すると、2つのグラフの交点の x 座標は、αとβになるはずです。なぜなら、「x = α, β」は「f(x) = 0」の解であり、この方程式は、「y = f(x)」と「y = 0」の2式から y を消去することによって作られるからです。「y = 0」とは、x 軸のことです。したがって「y = f(x)」は x 軸と、「x = α, β」で交わるような図になります。

こうして描かれた図を見ます。「a > 0」のときと「a < 0」のときでは、2次関数のグラフが上下逆向きになるということはご存じでしょうね。例えば「a > 0、α < β」のケースで話を進めましょう（添付図）。この場合、グラフは「下に凸」ですね？グラフ上の各点の y 座標を見ると、「x < α, x > β」の範囲で「y > 0」となっていることが分かります。また、「α < x < β」の範囲で「y < 0」となっていることが分かります。最初の2次不等式「f(x) < 0」を解くということは、「y = f(x)」と置いたのだから、「y < 0」となる範囲を求めることと同じです。つまり、グラフから、「a > 0」の場合は、「α < x < β」が最初の不等式の解だと言えるわけです。

回答No.3

asuncion

おっと失礼。

＞y軸よりも下（つまりy<0ということ）

x軸よりも下（つまりy<0ということ）
が正しいです。当然。
yが負なのかどうか、という議論をしていますので、x軸が境目となります。

回答No.2

asuncion

そもそも、
ax^2+bx+c<0
という不等式を解く、とはどういうことなのかを理解できているでしょうか。

y=ax^2+bx+c
という2次関数のグラフを描いたとき、y軸よりも下（つまりy<0ということ）
にそのグラフが来るxの範囲を求める、ということを理解できているでしょうか。

回答No.1

noname#165111

そのままでいいんだよ。

【ax^2+bx+c<0
この式を分解すると

y=f(x)=ax^2+bx+c
y=0 (x軸)】

分解というと、誤解されるかもしれませんが、
結局は、
グラフ上において２つの式の交わりについて考える、
ってことですね。
（グラフを書いてみると分かるとおもうのですが）

要は、x軸との交点の座標を求めたいのです。
それが、（α、０）（β、０）とします。
解がα＜ｘ＜βなのか、ｘ＜α、β＜ｘなのかをグラフを見て
考えるってことです。

グラフを書いても分からないときはまた質問してくださいね。