数学質問 お願いします。

質問

この問題（3）の等号成立条件がわかりません。答えでは、等号は『A=B=2または、C=2』かつ、『A=2または、B=2』のとき、つまり、A=B=2または、B=C=2または、C=A=2のとき、すなわち、a,b,cのうち少なくとも2つが1であるときのみ成立すると書いてあるのですが、どうしたらわかるのですか？ちなみに解答は2^a=A,2^b=B,2^c=Cと置いて証明してます。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

順番に見ていく
(1)
2^(a+b) - (2^a + 2^b) = (2^a)(2^b) - 2^a - 2^b = (2^a) (2^b - 1) - 2^b
≧ [1]
2(2^b - 1) - 2^b= 2^b - 2
≧[2]
2^1 - 2 = 0 より成立する。

[1]の等号成立は a=1,
[2]の等号成立は b=1の時。
従って問題文の等号はa=b=1の時成立する。

(2)
2^(a+b+c) = (2^c)・(2^(a+b))
≧ [3]
(2^c) (2^a + 2^b) = 2^(a+c) + 2^(b+c)
≧[4]
(2^a + 2^c) + 2^(b+c)
≧[5]
2^a + 2^c + 2^b + 2^c = 2^a + 2^b + 2^(c+1)
≧[6]
2^a + 2^b + 2^c + 2^1
より成立する。

[3]の等号成立はa=b=1,
[4]の等号成立は a=c=1,
[5]の等号成立は b=c=1,
[6]の等号成立は c=1 の時。
従って問題文の等号は a=b=c=1の時成立する。

(3)
2^(a+b+c) - (2^(a+b) + 2^(b+c) + 2^(c+a) -4)
= (2^a) (2^(b+c) - 2^b - 2^c) -2^(b+c) + 4
≧ [7]
2(2^(b+c) - 2^b - 2^c) -2^(b+c) + 4
= 2^(b+c) -2 (2^b) - 2(2^c) + 4 = (2^b -2 ) (2^c -2)
≧ [8]
0
[7]の等号成立は、(2^a = 2)又は (2^(b+c) - 2^b - 2^c =0)、即ち (a=1) 又は(b=c=1)の時
[8]の等号成立は、(2^b - 2 = 0)又は(2^c-2 = 0)、即ち (b=1)又は(c=1)の時
従って、問題文の等号は、{ (a=1) 又は(b=c=1) } 且つ { (b=1)又は(c=1) } の時、即ちa,b,cの内2つ以上が1の時成立する。

特に[7]の等号成立条件が何かに注意。

(1)から2^(b+c) - 2^b - 2^c≧0なので、2^a = 2 なら[7]の等号が成立するが、2^(b+c) - 2^b - 2^c = 0の場合でも、(2^a) (2^(b+c) - 2^b - 2^c) = 2(2^(b+c) - 2^b - 2^c) = 0なので等号が成立する。
一方、2^a > 2かつ2^(b+c) - 2^b - 2^c >0の場合は、[7]で等号が成立しない。

お礼

丁寧にありがとうございました！

補足

考え方はわかりました。
［１］［５］［７］の指数計算間違っていませんか。
［１］だと、2(2^b-1)-2^b=2^(b+1)-2-2^bではないのですか？ほかも同様です。

回答No.2

tmppassenger

[1]
2(2^b-1)-2^b= 2 * (2^b) - 2 - 2^b = (2-1)2^b - 2 = 2^b - 2
2(2^b-1)-2^b = 2^(b+1)-2-2^b となるのはそうだが、結局+1の所を外に出すと上の式の形になる。

[5] は何の事を言っているのか良く分からない
[7]も 2(2^(b+c)) -2^(b+c) = 2^(b+c)。良く見ましょう。

お礼

理解できました。ありがとうございました。