数学 絶対値を含む不等式

質問

|a-b|≦|a|+|b|を証明せよ。
という問題です。
これの等号条件がab≦0がどうやって出てきたかわかりません。
教えてください

回答No.3

atkh404185

|a-b|≦|a|+|b|
の等号が成り立つとき

(|a|+|b|)^2-|a-b|^2
=|a|^2+2|ab|+|b|^2-(a^2-2ab+b^2)
=a^2+2|ab|+b^2-a^2+2ab-b^2
=2(│ab│+ab)≧0
したがって、
|a-b|^2≦(|a|+|b|)^2
|a-b|≧0, |a|+|b|≧0　だから
|a-b|≦|a|+|b|

等号成立は、
│ab│+ab=0　のときであり、これより
│ab│=-ab

│ab│≧0　だから
-ab≧0
よって
ab≦0　
のときである。

となります。

回答No.2

f272

数直線で考えるとして，
|a-b|はaとbの距離
|a|はaと0の距離
|b|はbと0の距離
だからaとbと0の位置関係で場合を分けて考えるのは自然です。
aとbの間に0があれば|a-b|=|a|+|b|ですし，aとbが0から同じ側にあれば|a-b|<|a|+|b|です。つまりabと0の大小関係で|a-b|と|a|+|b|の関係が決まるのです。

回答No.1

shintaro-2

>これの等号条件がab≦0がどうやって出てきたかわかりません。

質問の意味を理解できません。
式にはab≦０はありません。

a≧ｂ＞０であれば問題ありません
a≦b＜０でも同様です。
残りは
a≦0、ｂ≧0
a≧０、b≦0　の場合で
この場合は等号が成立します。
まとめると、ab≦０です。