数学の質問です。お願いします。

質問

応用例題191の(2)についてです。
問題191
(2) 整数a b c がa^2＋b^2＝c^2を満たすとき、a b cのうち少なくとも一方は、
　3の倍数である。事を証明せよ。という問題です。
自分の考えを下記に書きます。※写メで問題と解答を載せます。

a、bのうち少なくとも 一方は3の倍数なので、a、bが両方とも3の倍数であるときは証明しなくていいのですか？
また、もし仮にa、bの両方とも3の倍数であると仮定するとa^2、b^2を3で割ったときのあまりは必ず0となりa^2＋b^2を3で割ったときのあまりは0となる。
一方、c^2を3で割ったときのあまりは0と1なのでa^2＋b^≠c^2になってしまうのではないのでしょうか？
よくわかりません、お願いします

回答No.3

staratras · ベストアンサー

a,bが3の倍数であるかないかについて、次の4通りが考えられます。

ア、aもbも3の倍数である場合
イ、aは3の倍数で、bは3の倍数でない場合
ウ、aは3の倍数でなく、bは3の倍数である場合
エ、aもbも3の倍数でない場合

ここで、「a、bのうち少なくとも一方は、3の倍数である」というのは、ア、イ、ウの場合です。「少なくとも一方」とあるのだから、当然両方が3の倍数である場合アも含みます。

ご質問でurlが紹介されている回答では、以下のように考えました。(２、から先は背理法）

１、「平方数」（整数を2乗した数）を3で割った余りは、その整数が3の倍数であるときは0、3の倍数でないときは1であって、どんな場合も余りが2になることはない。（元の整数を3で割った余りが0,1,2であるときに分けて証明しています。）これが設問１）の回答で、この先は設問２）の回答

２、aもbも3の倍数でないと仮定すると、a^2もb^2も3で割った余りが1なので、a^2+b^2=c^2を3で割った余りが2になる。

３、ところが１、より平方数を3で割った余りが2となることはないので矛盾する。

４、これはaもbも3の倍数でないとした仮定が誤っていたからであり、整数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすとき「a、bのうち少なくとも一方は、3の倍数である」

この証明をひとことで説明すれば、背理法を使って最初のエの場合があり得ないことを示し、ア、イ、ウのいずれかの場合しかないことを証明したのです。

>もし仮にa、bの両方とも3の倍数であると仮定するとa^2、b^2を3で割ったときのあまりは必ず0となりa^2＋b^2を3で割ったときのあまりは0となる。
一方、c^2を3で割ったときのあまりは0と1なのでa^2＋b^≠c^2になってしまうのではないのでしょうか？

そうではありません。上の１、でわかったのは、平方数を3で割った余りは0または1であるということです。（「0と1」ではありません。具体的に平方数が決まればその数を3で割った余りは「0か1かのどちらか」です。）a,bの両方が3の倍数なら、c^2、すなわちa^2+b^2を3で割った余りが0になり、それでよいのです。

お礼

ありがとうございます

回答No.5

kiha181-tubasa

>a、bのうち少なくとも 一方は3の倍数なので、a、bが両方とも3の倍数であるときは証明しなくていいのですか？

「a、bのうち少なくとも 一方は3の倍数である」には両方とも3の倍数であることも含まれています。
また、「a、bのうち少なくとも 一方は3の倍数である」の否定は「a、b両方ともに3の倍数でない」になりますね。
したがって、
「a ,b のうち少なくとも一方は、3の倍数である事を証明せよ」ですから、「『全て3の倍数でない』ことはありえない」すなわち「『全て3の倍数でない』と仮定すると矛盾が起きる」ことを証明すればよいのです。

画像が見えないので、もしかしたら証明の流れが違うかもしれませんが、その場合は「参考」にしてください。
（証明）
3の倍数でない数の平方は必ず3で割ると1余る数になります。なぜならば、nを整数とするとき
(3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1
(3n+2)^2=9n^2+12n+4= 9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1
となり、3の倍数＋１ですから、3で割ると1余る数であることを示しています。

さて、a,bがともに３の倍数でないと仮定すると、a^2,b^2はともに3で割って1余る数となるから
a^2+b^2は3で割ると２余る数になります。
（∵（3P+1)+(3Q+1)=3(P+Q)+2で3の倍数＋２）

ところがcも３の倍数でないとc^2はやはり3で割ると1余る数となります。
３の倍数であるならば、c^2は3の倍数となるのは明らかです。

したがって、a,bともに3の倍数でないと、
a^2+b^2は3で割ると２余る数になり
c^2は3で割りきれるか、3で割ると1余る数となる
これは矛盾です。
したがってa,bがともに3の倍数でないことはありえない、つまり、a,bのうち少なくとも一つは3の倍数であることが証明されました。

もう一つの質問について
＞また、もし仮にa、bの両方とも3の倍数であると仮定するとa^2、b^2を3で割ったときのあまりは必ず0となりa^2＋b^2を3で割ったときのあまりは0となる。
一方、c^2を3で割ったときのあまりは0と1なのでa^2＋b^≠c^2になってしまうのではないのでしょうか？

これについては、「c^2を3で割ったときのあまりは0と1なので…」と考えるのではなく、「この時はcが３の倍数であればよいのだな」と考えてよいのです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

bunjii

(2) 整数a b c がa^2＋b^2＝c^2を満たすとき、a b cのうち少なくとも一方は、3の倍数である。事を証明せよ。という問題です。
問題の読み違いです。
「(2) 整数a b c がa^2＋b^2＝c^2を満たすとき、a b のうち少なくとも一方は、3の倍数である。事を証明せよ。」と書かれています。
a,b,cの3つの値ではなく、a,bの2つの値の内、少なくても1つは3の倍数と言うことです。

>a、bが両方とも3の倍数であるときは証明しなくていいのですか？
それは出題者に聞いてください。

>一方、c^2を3で割ったときのあまりは0と1なのでa^2＋b^≠c^2になってしまうのではないのでしょうか？
それは揚げ足取りと言う見方です。
設問の中で「a^2+b^2=c^2を満たすとき」と条件が付いていますので「a^2＋b^2≠c^2になってしまう」は対象外でしょう。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

asuncion

その本に書いてあるとおりなんですが、どこが理解できませんか？

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

asuncion

＞一方、c^2を3で割ったときのあまりは0と1なので
なぜですか？

お礼

ありがとうございます。解決しました。