式の値と不等式

質問

（１）-3≦a≦1、2≦b≦3のとき、次の式のとりうる値の範囲を求めよ
１：a+2b 2:3a-2b 3:ab
答え自体はすぐにわかるのですが言葉で説明する方法がわかりません
解答の書き方を教えてください

（2）次の不等式を証明せよ、また等号が成立するのはどんなときか
1；a＾2+b＾2+2≧2（a+b) 2:a＾2+2ｂ＾2+1≧2ｂ（a+1）
相加平均と相乗平均で考えてみたんですが答えが出てきませんでした・・・因数分解も思いつきません
よろしくおねがいいたします

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

(1)だけ答えておきます。
考えられる方針は　3つほどありますが。。。。。

(1)a+2b
-3≦a≦1‥‥(1)、2≦b≦3‥‥(2)　(2)より4≦2b≦6‥‥(3)であるから(1)＋(3)より　1≦a+2b≦7

(2)3a-2b
(2)より　-6≦-2b≦-4　‥‥(4)、(1)より　-9≦3a≦3‥‥(5)、よって(4)＋(5)より　-15≦3-2b ≦-1.

(3)ab
-3≦a≦1‥‥(1)、2≦b≦3‥‥(2)　
これが一番考えにくいでしょう。
(a、b)＝(1、2)、(1,3)、(-3,3)、(-3,2)の4つの値を出してみてください。
そうすれば、-9≦ab≦3が分かると思います。

(3)の問題を考えるには、実は-3≦a≦1‥‥(1)、2≦b≦3‥‥(2)　をab平面上に図示して考えると簡単です。
4点、(a、b)＝(1、2)、(1,3)、(-3,3)、(-3,2)で囲まれる長方形の内部及び周上です‥‥(6)。
そこで、ab＝kとすると、これは双曲線ですから　これが(6)の範囲を満たすkの値の範囲が求めれば良いことになります。

この方法は、(1)と(2)の問題にも大変有効ですから試してみてください。

回答No.1

Quattro99

(1)
1は、最大はaが最大で2bも最大の時、最小はaが最小で2bも最小の時。
2は、最大は3aが最大で-2bも最大の時、最小は3aが最小で-2bも最小の時。
3は、aおよびabは正の数、負の数ともに取り得る。bは正の数しか取り得ない。abが最大なのは正の数で絶対値が最大の時であり、bが正の数しか取り得ないことから、bが最大の時でaが正の数で絶対値が最大の時。abが最小なのは負の数で絶対値が最大の時であるから、aが負、bが正でそれぞれの絶対値が最大の時。
などではどうでしょうか。あまり、うまい言い方が見つかりません。

(2)
それぞれ、左辺から右辺を引いて変形し、≧0になることを示せばよいと思います。どちらも、A^2+B^2の形に変形できるはずです。