条件付きの最小値(高校数学)

質問

「a,b,cは正でab+bc+ca=1のときa+b+cの最小値を求めよ」
という問題の模範回答が

(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}≧0
よりa+b+c≧√3
よって最小値は√3(等号成立はa=b=c=1/√3のとき)

とあったのですが、模範解答以外の解き方はないでしょうか？
もしあるならば、どなたか教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

別解：

a,b,c は正だから、相加相乗平均の関係から
(a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3) が成り立ち、その
等号成立条件は、a = b = c である。

ab + bc + ca = 1 かつ a = b = c であれば
a = b = c = 1/√3 だから、

a+b+c ≧ 3 ( (1/√3)(1/√3)(1/√3) )^(1/3) = √3
（ただし、等号成立条件は、a = b = c = 1/√3）
が成立している。

お礼

回答ありがとうございます!
なるほど！

回答No.2

aquatarku5

別解です。

a,b,cを下記の如く変数変換する。
・ a+b+ c=x
・ a-b =y
・-a-b+2c=z
すると、
・a=x/3+y/2-z/6
・b=x/3-y/2-z/6
・c=x/3 +z/3
これより、
・ab+bc+ca=x^2/3-y^2/4-z^2/12

したがって、
x^2=3y^2/4+z^2/4+3
およびa>0,b>0,c>0の元で、xの最小値を求めることになる。

y=z=0のとき、a=b=c=x/3で、x^2=3がxの最小値を与える
ことがわかり、この解x=√3は、a>0,b>0,c>0も満たす。

以上から、最小値=√3（a=b=c=1/√3の時）。

※上記変数変換について。
制約条件が2次式であることに着目。
目的関数である1次式(平面）の法線ベクトルをx軸とし、
これと直交するようにy,z軸を適当に決める

#やり方が高校数学の範囲と言えるかどうか微妙ですが...

お礼

回答ありがとうございます！
すごい回答ですね。私にはこの回答は思いつきません。