この数学の問題を教えてください！

質問

下の数学Iの問題を教えてください！（３つ）

(1)a＞０のとき、不等式a＋１/a≧２を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。

(2)a＞０、b＞０のとき、次の不等式を証明せよ。
（a＋b）（１/a＋1/b）≧４

(3)a＞０、b＞０のとき、不等式a/b＋b/a≧２を証明せよ。
また、等号が成り立つときを調べよ。

たくさんあってすみませんm(_ _)m

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

(1)
a＞０であるから
相加平均と相乗平均の関係から、
a＋(１/a)≧２√{a*(1/a)}＝2
等号は a＝1/a,即ち　a＝1の時成立。

（証明終り）

(2)
a＞０、b＞０であるから
相加平均・相乗平均の関係から
　a+b≧2√(ab) (等号はa=bの時成立)
　(1/a)+(1/b)≧2√{(1/a)(1/b)}＝2/√(ab) (等号は1/a=1/b,即ちa=bの時成立)
2つの不等式を掛けて
（a＋b)(1/a＋1/b）≧４√(ab)/√(ab)＝4 (等号はa=bの時成立)

（証明終り）

(3)
a＞０、b＞０であるから相加平均・相乗平均の関係から
　(a/b)+(b/a)≧2√{(a/b)(b/a)＝2 (等号はa/b=b/a,即ち a=b の時成立)

（証明終り

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

spring135

教科書の相加平均、相乗平均のところを見直してください。

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

gohtraw

いずれも
(1)右辺を左辺に移項
(2)左辺を通分
してやると、分母、分子ともに正という形になるはずです。例えば（１）ならば
証明すべきは
ａ＋１／ａー２＞＝０　・・・（あ）
この式の左辺は
（ａ＾２＋１－２ａ）／ａ＝（ａ－１）＾２／ａ
分子は二乗の形なので正、ａ＞０であるから（あ）が成立。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

Cupper-2

この手の問題は極値を見つけることで解く目安になります。

（１）はａに１を入れたときどうなるか、考えてみてください。
そして、１より大きい数値（例：２）、１より小さい数値（０.５）を入れたとき
どうなるのか。

（２）は一度式を展開してから考えてみましょう。
意外と簡単な式に置き換えることができますよ。
このとき、（１）の問題が解けているとあっさり答えが出ます。

（３）は通分して考えてみてください。

まあ、これらを証明の形にできるかは質問者さんのセンスの問題ですので…。
それでも考え方がちゃんと分かっていれば何とかなりますよ。
逆に考え方が間違っていたり、分かっていなければ文章にも式にも表すことができませんから
ちょっとだけ苦労してみましょう。

お礼

ありがとうございます！