|a＋b＋c | ≦|a|＋|b|＋|c| を証明

質問

この問題の前に、|a+b|≦|a|+|b|と、|a|－|b|≦、|a+b|の証明を使って
この問題を証明していますが

これ単体ではとけないんでしょうか

後、この等号が成立するときがよくわかりません、詳しく等号が成立するときを教えていただきたいです

回答No.5

ferien · ベストアンサー

ANo.4です。度々失礼します。等号成立について

＞ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０　または　ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０　または　ａ＝ｂ＝ｃ＝０
＞「ａ，ｂ，ｃ全部が同じ符号か、全部が０のとき」が、等号成立条件になるのではないかと思います。
について、実際にこの条件を使って等号成立を示すことができるかどうか、やってみたいと思います。

（１）ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０のとき　と
（２）ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０のとき、に場合を分けて証明をしてみたいと思います。

絶対値についてのきまり、「ａ≧０のとき、｜ａ｜＝ａ，　ａ＜０のとき、｜ａ｜＝－ａ」
を使います。

＞|a＋b＋c | ≦|a|＋|b|＋|c|

（１）ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０のとき、
このとき、ａ＋ｂ＋ｃ≧０だから、
左辺＝｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝ａ＋ｂ＋ｃ
このとき、
｜ａ｜＝ａ，｜ｂ｜＝ｂ，｜ｃ｜＝ｃだから、
右辺＝|a|＋|b|＋|c|＝ａ＋ｂ＋ｃ
左辺と右辺が等しいから、等号は成立します。

（２）ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０のとき、
このとき、ａ＋ｂ＋ｃ＜０だから、
左辺＝｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝－（ａ＋ｂ＋ｃ）
このとき、
｜ａ｜＝－ａ，｜ｂ｜＝－ｂ，｜ｃ｜＝－ｃだから、
右辺＝|a|＋|b|＋|c|＝（－ａ）＋（－ｂ）＋（－ｃ）
　　＝－（ａ＋ｂ＋ｃ）
左辺と右辺が等しいから、等号は成立します。

このように等号成立を示すことができたので、
「ａ，ｂ，ｃ全部が同じ符号か、全部が０のとき」を等号成立条件
としてもいいと思います。

一方的にいろいろ説明してしまいましたが、分からないことがあったら質問をお願いします。

回答No.4

ferien

ANo.1，ANo.3です。等号成立について

＞後、この等号が成立するときがよくわかりません
絶対値の不等式の証明では、等号成立については、とくに述べる必要はないようです。

＞|a+b|≦|a|+|b|の等号成立の条件はａｂ≧０なので、これを参考に考えてみると、
ａｂ≧０より、ａ＞０，ｂ＞０　または　ａ＜０，ｂ＜０　または　ａ＝ｂ＝０　なので、
ａ，ｂ，ｃの場合は、
ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０　または　ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０　または　ａ＝ｂ＝ｃ＝０
「ａ，ｂ，ｃ全部が同じ符号か、全部が０のとき」が、等号成立条件になるのではないかと思います。
でもこれをうまく式で表すことはできないようです。
全部正のときをａｂｃ＞０としても、ａ，ｂが負でｃだけ正のときも不等式は成り立ちます。
全部負のときをａｂｃ＜０としても、同じく２つが正、１つが負でも不等式は成り立ちます。
だから、「ａ，ｂ，ｃ全部が同じ符号か、全部が０のとき」が等号成立だと
理解しておくだけでいいと思います。証明に書く必要もありません。

回答No.3

ferien

ANo.1です。等号成立の条件が間違っていたので、以下の部分を削除してください。

＞等号成立は、ａ＝ｂ＝ｃのとき

＞＞後、この等号が成立するときがよくわかりません
＞左辺＝｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝｜ａ＋ａ＋ａ｜＝｜３ａ｜＝３｜ａ｜
＞右辺＝｜ａ｜＋｜ｂ｜＋｜ｃ｜＝｜ａ｜＋｜ａ｜＋｜ａ｜＝３｜ａ｜
＞だから、等号が成り立ちます。

|a+b|≦|a|+|b|の等号成立の条件はａｂ≧０なので、これを参考に考えてみれば良いと思います。

回答No.2

fjnobu

等号成立は、a,b,c がすべて正の時
どれかが、負の時は不等号となり、式は成立します。

回答No.1

ferien

|a＋b＋c | ≦|a|＋|b|＋|c| を証明
この問題の前に、|a+b|≦|a|+|b|　……（１）と、|a|－|b|≦、|a+b|の証明を使って
この問題を証明していますが

＞これ単体ではとけないんでしょうか
普通は、左側（１）の式を使って証明すると思います。

ａ＋ｂ＝ｄとおくと、
｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝｜（ａ＋ｂ）＋ｃ｜＝｜ｄ＋ｃ｜
（１）より、｜ｄ＋ｃ｜≦｜ｄ｜＋｜ｃ｜＝｜ａ＋ｂ｜＋｜ｃ｜
（１）より、｜ａ＋ｂ｜＋｜ｃ｜≦（｜ａ｜＋｜ｂ｜）＋｜ｃ｜
よって、｜ａ＋ｂ＋ｃ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ｜＋｜ｃ｜
等号成立は、ａ＝ｂ＝ｃのとき

＞後、この等号が成立するときがよくわかりません
左辺＝｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝｜ａ＋ａ＋ａ｜＝｜３ａ｜＝３｜ａ｜
右辺＝｜ａ｜＋｜ｂ｜＋｜ｃ｜＝｜ａ｜＋｜ａ｜＋｜ａ｜＝３｜ａ｜
だから、等号が成り立ちます。

でどうでしょうか？