数学でわからない問題があります

質問

不等式a2＋9b2≫4abを証明して等号が成り立つときを調べる問題なんですが
なぜ(a-2b)2＋5b2≫0になってa2＋9b2≫4abになったり
等号が成り立つのはa＝b＝0のときなのかが
わかりません。答えや例題をみてもさっぱりで
夏休み中なので誰にも聞けずに困っています。
数学苦手な私でもわかるように説明していただけたらうれしいです！

回答No.1

sinonomehiro · ベストアンサー

(a-2b)2+5b2>0 を展開すると
a2-4ab+4b2+5b2>0　ですね。-4abを右に移すと
a2+4b2+5b2>4ab つまり　a2+9b2>4ab になる訳です。

等号が成り立つ時というのは
a2+9b2=4ab　という意味ですよね。上の式から
(a-2b)2+5b2=0　ですよね。＞を＝に変えただけです。
どんな数字でも、2乗すると０より大きくなるので、(a-2b)2も5b2も０以上になります。
つまり(a-2b)2=0かつ5b2=0という訳です。
この時、
(a-2b)2=0 はa-2b=0 なので　a=2b です。
5b2=0 はb2=0 なので　b=0です。すると2b=0ですからa=2b=0で、aもbも0だと分かります。

夏休みにしっかり勉強を進めて下さいね！

お礼

おお～わかりました！！助かりました！！
回答ありがとうございます！！がんばります！！！

回答No.2

gohtraw

不等式の証明でよくやる手が、二乗の形に持ち込むことです。実数の範囲では二乗の形にすればそれはゼロ以上になるからです。で、問題ですが、移項して
ａ＾２＋９ｂ＾２－４ａｂ
となりますが、ａ＾２－４ａｂ＋ｐ＾２ｂ＾２＝（ａ－ｐｂ）＾２となるようなｐを探してやるとｐ＝２なのでを
ａ＾２－４ａｂ＋４ｂ＾２＋５ｂ＾２
という具合に分けてやり、ａ＾２－４ａｂ＋４ｂ＾２＝（ａ－２ｂ）＾２　なので
（ａ－２ｂ）＾２＋５ｂ＾２
と変形できます。これは二乗の形になった二つの項、（ａ－２ｂ）＾２と５ｂ＾２の和であり、これらの項はいずれもゼロ以上なので、その和もゼロ以上になります。ここで等号成立のばあいですが、二つの項がいずれもゼロにならないとその和もゼロにはならないので
５ｂ＾２＝０よりｂ＝０、ａ－２ｂ＝０よりａ＝２ｂ＝０
となります。

お礼

回答ありがとうございました！！参考にします！！