数学（高校生ができる）問題です。

質問

１．実数x,yに対し(1+x)(1+y)≦{1+(x+y)/2}^2を示せ。
　　また、等号が成立するのはどのようなときか。

２．a,b,c,dを-1以上の数とするとき
　　　　(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≦{1+(a+b+c+d)/4}^4
　　を示せ。また、等号が成立するのはどのようなときか。

この問題の１．は虚数iを使って示すのだろうというところまでしか見通しが立っていません。
２．は１．と形が似ているのでそれを応用するのだろうと思います。

というところまでは自分で考えてみたのですがそこからがわかりません。
お願い致します。

回答No.3

yyssaa

１．
＞相乗平均≦相加平均だから
√{(1+x)(1+y)}≦{(1+x)+(1+y)}/2
両辺を二乗して
(1+x)(1+y)≦{(1+x)+(1+y)}^2/4={2+(x+y)}^2/4
={4+4(x+y)+(x+y)^2}/4=1+(x+y)+(x+y)^2/4
={1+(x+y)/2}^2　（証明終わり）
等号が成立するのは、1+x=1+yすなわちx=yのとき・・・答
２．
＞上記の結果から(1+a)(1+b)≦{1+(a+b)/2}^2
(1+c)(1+d)≦{1+(c+d)/2}^2、両式の左辺は共に正だから
辺々乗じて(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≦[{1+(a+b)/2}^2][{1+(c+d)/2}^2]
=[{1+(a+b)/2}{1+(c+d)/2}]^2={1+(a+b+c+d)/2+(a+b)(c+d)/4}^2
ここで相乗平均≦相加平均から√{(a+b)(c+d)}≦{(a+b)+(c+d)}/2、
両辺二乗して(a+b)(c+d)≦{(a+b+c+d)/2}^2だから
(a+b)(c+d)/4≦[{(a+b+c+d)/2}^2]/4={(a+b+c+d)/4}^2
よって上式は(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≦{1+(a+b+c+d)/2+(a+b)(c+d)/4}^2
≦[1+(a+b+c+d)/2+{(a+b+c+d)/4}^2]^2
=[1+(a+b+c+d)/2+(a+b+c+d)^2/16]^2=[{1+(a+b+c+d)/4}^2]^2
={1+(a+b+c+d)/4}^4　（証明終わり）
等号が成立するのは、1+a=1+b、1+c=1+d、a+b=c+dが成り立つときであり、
a=b、c=d、2a=2b=2c=2dからa=b=c=dのとき・・・答

お礼

ありがとうございます!
参考にさせていただきました。

回答No.2

spring135

1.
(1+x)(1+y)≦{1+(x+y)/2}^2　　(1)

X=1+x,Y=1+yとおくと1+(x+y)/2=[2+(x+y)]/2=(X+y)/2

(1)は

XY≦[(X+Y)/2]^2

と変形できる。展開して

4XY≦(X+Y)^2

(X-Y)^2≧0

これはx,yが実数であるのでX,Yも実数となり成立。

等号はX=Yすなわちx=yのとき成立。

2.

(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≦{1+(a+b+c+d)/4}^4　(2)

1.の問題を(4)変数に拡張しただけの話。

1+a=A,1+b=B,1+c=C,1+d=Dとおくと(2)は

ABCD≦[(A+B+C+D)/4]^4　(3)

>a,b,c,dを-1以上の数とするとき

A,B,C,Dはすべて正または0

従って(3)の両辺の４乗根をとって

(A+B+C+D)/4≧(ABCD)の４乗根

これは正または0の４つの数の相加平均は相乗平均以上ということから成り立つ。

等号は

A=B=C=Dすなわちa=b=c=d

のとき成立。

お礼

(A+B+C+D)/4≧(ABCD)の４乗根　というのをワンクッションおかずに肯定してしまっていいのでしょうか？
そこら辺がわからないですけど、ご回答有難うございました。

回答No.1

f272

いわゆる相加相乗平均と言うやつだな。

お礼

ああ、なるほど！
虚数は全然関係なかったですね。

ありがとうございます。