数学IIの問題についてです。至急よろしくお願いします。

質問

問 a>0、b>0のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。　a/b＋b/a≧2

この問題について、二つ質問させていただきます。

(1)この問題は相加平均と相乗平均についてですが、
相加・相乗平均であるのは、
「問の不等式（a/b＋b/a≧2）が、a＋b/2≧√abもしくはa＋b≧2√abの形であるから」という解釈で正しいですか？

(2)また、等号成立は「a/b＝b/aすなわちa=b」ですが、
こちらは「a＋b/2≧√abもしくはa＋b≧2√abの等号が成り立つのは a=bのときであるから」という解釈で正しいですか？

ご指摘よろしくお願いします。

回答No.1

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(1)
>「問の不等式（a/b＋b/a≧2）が、a＋b/2≧√abもしくはa＋b≧2√abの形であるから」という解釈で正しいですか？
違います。

■　
2つの正数A,Bの間には相加平均≧相乗平均の関係
(A+B)/2≧√(AB)が成り立ち、A=Bの時等号が成立する。
ということです。

A=a/b,B=b/aを代入すると
{(a/b)+(b/a)}/2≧√((a/b)(b/a))=√1=1
両辺2倍して
(a/b)+(b/a)≧2

(2)
>「a＋b/2≧√abもしくはa＋b≧2√abの等号が成り立つのは a=bのときであるから」という解釈で正しいですか？
いいえ。

aとbの関係ではなく、上の■の関係のA=Bの関係から以下のようにして
a=bが導かれます。

等号は、A=Bすなわちa/b=b/aの時成立する。
これから　(a/b)-(b/a)=(a+b)(a-b)/(ab)=0
a>0,b>0から a+b>0なので　a-b=0 ∴a=b
が導出でき　a=bのとき等号が成り立っているといえるわけです。