不等式の証明と命題の真偽(基本的)

質問

お世話になっております。

実数a、b、cに対して、
等式 |a|+|b|+|c|=|a+b+c|…P が成立つことは、ab+bc+ca≧0 …Q　が成立つための○○条件である。(○の数は特に意味なし)

という問題です。証明も合わせて(不等式を証明して、等号成立条件を調べてから命題を考えてみたかった為)以下のように考えてみました。

まず証明。
与えられた等式を考える前に、不等式
|a|+|b|+|c|≧|a+b+c|…(2)を証明する。
(2)の両辺は正または0であるから、両辺の二乗の差を考えて
(|a|+|b|+|c|)^2-|a+b+c|^2
=2{|ab|+|bc|+|ca|-(ab+bc+ca)}
=2{(|ab|-ab)+(|bc|-bc)+(|ca|-ca)}…(3)
ここで、|ab|≧ab,|bc|≧bc,|ca|≧ca だから、(3)≧0。従って不等式(2)は成立つ。等号成立は、ab≧0,bc≧0,ca≧0…(4)　より、ab+bc+ca≧0 の時に限る。

よって、等式Pが成立つとき、a,b,cはQを満たす。(ここが一番曖昧です)

逆にQが成立つとき、(4)が成立つから、積の場合分けで導かれる二つの場合で、
a≧0かつb≧0かつc≧0 のときは、Pは成立つ。
a≦0かつb≦0かつc≦0 のときはPは、
左辺=-a-b-c=-(a+b+c)=右辺 より成立つ。

以上より、○○は必要十分条件が適当と思す。

以上、拙いですが頭捻ってみました。当方が微妙だと感じるのは、不等式の証明についての説明部分(解答ではb+cを一括りにしてaと(b+c)の二変数と考えて、二変数については不等式が成立つことを利用して証明してました)と、既に書いた通り、条件Pが十分条件であることの説明部分(こちらは解答なし)です。

長ったらしい文で恐縮ですが、閲覧ついでにご回答いただけると嬉しいです。宜しくどーぞ。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
なんか微妙な感じのにほひが・・・

＞与えられた等式を考える前に、不等式
＞|a|+|b|+|c|≧|a+b+c|…(2)を証明する。
なぜここで「不等式」を考えたのかが、一つ目の「？」です。
普通に（左辺）-（右辺）でいいと思うのですが。

そして、
＞ (|a|+|b|+|c|)^2-|a+b+c|^2
＞ =2{(|ab|-ab)+(|bc|-bc)+(|ca|-ca)}…(3)
＞ ここで、|ab|≧ab,|bc|≧bc,|ca|≧ca だから、(3)≧0。
ここまではいいのですが、等号成立は
|ab|+ |bc|+ |ca|- (ab+ bc+ ca)＝ 0

のときとしか言えないはずです。
（(3)式における個別の |xy|- xyの項が 0とは言えない）
これが言えれば、そのまま ab+ bc+ ca＝ |ab|+ |bc|+ |ca|≧ 0が示されます。

となると、逆を示すところも危うくなってきます。
というよりも、簡単に反例が見つかります。
a＝ 2, b＝ 2, c＝ -1のとき、 ab+ bc+ ca＝ 0ですが、命題：Pは成り立ちません。

お礼

naniwacchi様 お久しぶりです。
数学で詰むかも知れませんが、めげませんよ(半泣半笑)

改めて参考書読み返します。