等式、不等式の証明の範囲から

質問

高校数学IIからの質問です。
（１）『x+y／z ＝ y+z／x ＝ z+x／yのとき、この式の値を求めよ』という問題です。僕はx+y＝kz、y+z＝kx、z+x＝kyとおいて(k-2)(x+y+z)＝0という式を立てて、k＝２と答えたのですが、解答をみるとk＝2,-1となっていました。ｋ＝-1という答えはどのようにして導き出せるのでしょうか？

（２）『４ａ~2≧３ｂ(４ａ－３ｂ)を証明せよ。また等号成立の場合を調べよ』という問題です。僕は等号成立は“２ａ＝３ｂのとき”と答えたのですが、解答では“ａ＝３ｂ／２のとき”という書き方になっていました。どちらも同じだとは思うのですが、この問題に限らず、等号成立の場合を示す時は、どのような書き方がよいのでしょうか？

以上宜しくお願いします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

>(k-2)(x+y+z)＝0という式を立てて、k＝２と答えた

この時点でおかしいというか、足りません。
(k-2)(x+y+z)=0 ⇒ k=2 or x+y=z=0

x+y+z=0の時、
x+y=-z
(x+y)/zに代入すると式の値は-1
よって式の値kは2,-1

>どちらも同じだとは思う

その通り、どちらも同じです。解答の表記方法も
b=2a/3ではどうなのか？
2a-3b=0ではどうか？
さすがに4a-6b=0では減点でしょうが、既約で簡単な
式に変形できていれば問題が特に指定していない限り
どれも同じです。(例えばyがxを用いてどう表せるか？などの
指定です。そういう時はy=・・・の形がいいと思います)

お礼

回答ありがとうございます。返信が遅れてすみません。
大変参考になりました。

回答No.2

koko_u_

(1) について若干補足すると、x + y = kz, y + z = kx, z + x = ky から k = 2 を得た後、実際に x + y = 2z, y + z = 2x, z + x = 2y を満たす (x, y , z) が存在することにも言及する必要があるでしょう。

あるいは、連立方程式 x + y = kz, y + z = kx, z + x = ky が自明でない解を持つ場合を考えることに帰着させれば、対称な議論が可能です。

お礼

回答ありがとうございます。
大変参考になりました。
返信が遅れてすみませんでした。