正準方程式の導出？

質問

解析力学で最小作用の原理から正準方程式を導く際、pi=∂L(qi,dotqi)/∂dotqi-(1)を逆に解いてdotqi=dotqi(qi,pi)としてラグランジアンの作用の変分をとると思いますが、δpiとδqiが独立であるのは何故ですか？(1)の関係式があったとしたら、δdotqi自体がδqiに依存して決まるので、それに付随してδpiも決まってしまいδpiとδqiは独立にならないと思います。

回答No.1

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dotqiをq'で表し、自由度番号 i も省略します。

　正準方程式を導く際には、正確に言うと、ラグラジアンそのものでなく、ラグラジアンをハミルトニアンとp，qで表したものに対して変分をとりますが、そこはいま重要ではないと思います。

　確かにp＝∂L/∂q'で、L＝L(q，q')なので、pとqの間には関係があります。でも正準方程式は、ラグランジュ方程式の2倍の条件数になる事を思いでしてください。正準方程式はもともと、時間に関する2階の微分方程式であったラグランジュ方程式を（運動方程式を）、時間に関する1階の微分方程式に引き直したものです。
　ラグランジュ方程式より多い条件部分には、まさにpとqの関係が正しく反映され、残りの条件部分にはラグランジュ方程式と同等なものが来ます。つまり正準方程式では、pとqの関係まで方程式系自身で決めてやろう、という定式化です。

　pとqの関係まで変分で出したいので、あえてδpとδqを独立な変分とみなすわけです。
　もちろん、そうやって出したpとqの関係が正しくなるような変分原理を与えなければならないのですが、幸いにも、ラグラジアンをハミルトニアンとp，qで表したものに対して、δpとδqを独立だとみなす変分をとると、p，qに関する正しい関係と、ラグランジュ方程式と同等なものが出てきたのです。

　昔の人はよく考えました、としか自分には言えないです(^^;)。