解析力学での作用積分の次元はなんでしょうか？

質問

Euler-Lagrange方程式を導くとき δI＝∫δL(q,q')dt と変分原理を使って
導出しますが、この作用積分値（I)の次元はどうなっているのでしょうか？
このあたりのご教示をいただければ嬉しいのですが。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

空間の次元じゃなく、次元解析の次元、つまり単位の話かなぁ？　ポイントはずしてたらごめんなさい。

　一般に、例えば
・y'の次元 ＝ ∂y/∂xの次元 ＝ ∂yの次元÷∂xの次元 ＝ yの次元÷xの次元
・integral y dxの次元 ＝ yの次元×dxの次元 ＝ yの次元×xの次元
というように、∂y、dy, δyなどはみんなyと同じ次元を持つと考えて扱っちゃって構わない。構わないからこういう記法（たしかLagrangeの発明とか）が便利だとも言えますね。

　で、変分の次元について：変数 y[k] = y[k](x) (k=1,2,....,n) を持つ汎関数
J(y[1],y[2],.....,y[n]) = integral {x∈A} F(x, y[1],y[2],.....,y[n], y'[1],y'[2],.....,y'[n]) dx
の変分は、y[k]の増分をΔy[k]、y'[k]の増分をΔy'[k]とするとき
δJ = integral {x∈A} Σ{k=1,...,n} [(∂F/∂y[k])Δy[k]+(∂F/∂y'[k])Δy'[k]] dx
ですから、
δJの次元＝ Fの次元÷yの次元×yの次元×xの次元＝ Fの次元×xの次元＝Ｊの次元

　んで、汎関数J自体の次元。
　何を極値化（最小化・最大化）したいか、その量Jの次元ですから、一般に問題毎に違います。時間を最小にする、エネルギーを最小にする、確率を最大にする、距離を最小にする、コストを最小にする、などなど。それに、式を無次元化しちゃった場合は「（何かに対する）比を極値化する」ということで、もとより次元はないです。普通、変分問題を立てるときは「何を極値化したいか」を意識していると思うんですが、もしJの式だけ与えられたような場合には、式を分解して次元を調べるしかないですね。

お礼

そうです、次元解析の話なんですが、

＞δJの次元＝ Fの次元÷yの次元×yの次元×xの次元＝ Fの次元×xの次元＝Ｊの
＞次元
＞んで、汎関数J自体の次元。
＞もしJの式だけ与えられたような場合には、式を分解して次元を調べるしかないで＞すね。

目からうろこが落ちました。ありがとうございました。

回答No.3

siegmund

stomachman さんの回答がありましたので，ちょっと補足します．

一般的には stomachman さんの書かれたとおりですが，
質問内容から，Ｌは Lagrangian で Euler-Lagrange の運動方程式
(d/dt)(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0
を導く話だと思われますので，先の私の回答はその線で書きました．

それから，dy や dx や∫を使う記法(すばらしい記法です！)は Leibniz の発明です．
∂を最初に使ったのは誰かな～，私は知りません．

回答No.2

siegmund

Santa123 さんが書かれている式 δI＝∫δL(q,q')dt と
通常 L = T - V (T は運動エネルギー，V はポテンシャルエネルギー)
であることからすぐにわかります．
すなわち，L はエネルギーの次元，それを t で積分しているのですから
作用の I は [エネルギー・時間] の次元をもっています．
次元解析でやるように，長さＬ，質量Ｍ，時間Ｔ，であらわせば
作用の次元は [M L^2 T^(-1)] で，
SI 単位は，[J s] (ジュール・秒) = [kg・m^2・s^(-1)] です．
この次元は，まさに作用の次元と呼ばれています．

プランク定数 h は作用の次元をもっています．
(だから，作用量子と呼ばれる)．
その他，角運動量も作用と同じ次元をもっています．
量子力学では，角運動量が h/2π 単位に量子化される，などといいますね．
あと，解析力学では，周期運動について
integral[一周期] p dq
(p,q は一般化運動量と一般化座標)もよく出てきますが，
これも作用の次元を持っています．
この積分が量子化とかなんとかいうあたりが，量子力学との接続になります．

お礼

ご丁重な回答ありがとうございました。
[作用]の次元をあらためて思い出しました。
ところで質問の意図は、Ｌ＝Ｔ－Ｖという関係はEuler-Lagrangeの方程式を解い
て初めてＬ＝Ｔ－Ｖという関係と同等（エネルギーの次元）になっている事がわ
かりますが（電磁場中の電子の動きなんかは直感的にLagrangianを見つけること
が難しい）、それがまだ分からない段階でどうして作用積分というのだろうという
疑問にありました。
それにしても変分原理から運動方程式を導くという発想に凄いものを感じますが、
概念的にはこれでいいのかなぁと自分で納得したりしています(笑）。つまり、
t0、t1の両端固定でI=∫dtL(q,q'）の極値(δI=0)というのは、簡単に
δE＝δI＝(t1-t0）×ΔEとして、δE→０の時ΔE→０つまりエネルギー極値と
なる運動が現実の運動を表す。。。