ラグランジアンの物理的意味

質問

運動経路は任意の時間内でLの全体が最小になるように定まる量と考えていいですか?

またこれは力学で最も基本的な原理と考えていいですか?
また対称性とラグランジアンの関係についても興味深い話などあれば教えて下さい.

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

状態間の遷移振幅は古典的作用を位相とするファインマンの経路積分で表わされます。Lの全体が最小ではなく、汎関数積分の停留位相の条件から求められるのが古典的軌道です。
ラグランジアンがある連続変換の元で（全微分になる様な項を除いて）不変であることは保存量が存在するための十分条件ですが、必要条件ではありません。Hojman-Lutzkyの定理によると非ネーター対称性にも保存量が付随しています。http://xml-maiden.com/gecko/sinh.xml

お礼

ありがとうございます.

>状態間の遷移振幅は古典的作用を位相とするファインマンの経路積分で表わされます。
>Lの全体が最小ではなく、汎関数積分の停留位相の条件から求められるのが古典的軌道です。
まだ専門用語の理解が追いていってないので、正確な理解はこれからしていきたいと思います。。
ところで私には、大まかに次のようにイメージがあります。それは

L=K-U (K:運動エネルギー , U:位置エネルギー) と定義していることと、
それが作用原理(変分原理)を満たすことから、
「力学的に安定な(収束していく)方向とは運動エネルギーと位置エネルギーの均衡をとる方向」
というイメージです.
(放物線を転がるボールもイメージしました.)

>ラグランジアンがある連続変換の元で（全微分になる様な項を除いて）不変であることは
>保存量が存在するための十分条件ですが、必要条件ではありません。
>Hojman-Lutzkyの定理によると非ネーター対称性にも保存量が付随しています。​
ラグランジアンでは対称性と保存量が完全に1:1対応していなくて
「対称性」は「保存量が存在」よりも真に部分ということなんですね.
この事実は何かラグランジアンの不完全性とか欠陥を示す事実といえることにつながるのかどうかという疑問を持ちました.
保存量にはどんなものがあってどのように分類できるのか
体系的にまとめることができるのかを要請すべきなのか
そこまで分らなくても別に問題ないのだろうかとか思いました.

ラグランジアンに関連して私が興味を持っていることは
L+ゲージ不変性(U(1)対称性)+磁気のモノポールが存在しないことから
マックスウェルの方程式が導かれることです.
詳しい過程は分りませんが、電磁気の基本方程式がこうして構成できることに感心しました.
他の物理理論もこのようにして構成できる場合がたくさんあるだろうと思っています.

回答No.2

grothendieck

L+ゲージ不変性(U(1)対称性)+磁気のモノポールが存在しないことだけから
マックスウェルの方程式は導かれません。
ラグランジアンにいわゆるパウリ項
　ψ†γ0(γμγν - γνγμ)ψ Fμν
を加えると電磁場のオイラー方程式は

　∂μFμν + ∂μTμν = jν

のような形になります。ここでTμνは粒子の持っているあるテンソル量です。
パウリ項はゲージ不変性でも相対論的不変性の要求でも除外することはできません。くりこみ可能性の要求をするとパウリ項は除外されます。

参考URL：

http://jp.arxiv.org/abs/hep-th/9903044

お礼

ありがとうございます。
お礼が遅れて済みませんでした。
まだ理解できていませんが
これからも一生懸命勉強を続けていきたく思います。