四次元時空でのガウスの法則

質問

アインシュタインの場の方程式を、作用の変分から求めようとする時、ラグランジアン密度がR+2Λという形だったときの変分なのですが、δR（:スカラー曲率）の項を消去する
部分が理解できません。変形の終わりにくるガウスの法則を使っての積分限界でゼロになるというというのがイメージできずよく分からないです。電磁気のガウスの法則のような感じなのでしょうがちょっと理解できず苦しんでいます。
アドバイスをお願いします。
あるいは、何かその部分に詳しい本などはないでしょうか？

回答No.1

chukanshi · ベストアンサー

こちらも、ご質問を誤解しているかもしれませんが、アドバイスを申し上げます。

変形の終りのほうで多分やることは、ガウスの法則というよりは、数学の
「ガウスの定理」といわれる、体積積分を表面積分に変換する、
（今の場合は、４次元体積の超曲面上の積分に変換する、）
のではないでしょうか？
そして、変分をとるときには、「最小作用の原理」をもちいて、
積分領域の限界における、場の成分がゼロになるから、消える、
とするのではないでしょうか？

私の記述では不完全かもしれないので、その部分に詳しい本も
紹介してよいということなので、ご紹介します。

ランダウ・リフシッツ著
場の古典論（原書第６版）
東京図書
§９３．重力場に対する作用関数

「最小作用の原理」については、
同じく
ランダウ・リフシッツ著
力学（増訂第３版）
東京図書
§２．最小作用の原理

がよいです。

こちらも、質問の意図を勘違いしているかもしれませんので、
そのときは、また改めてご質問下さい。よろしくお願いします。

お礼

度々ありがとうございます。

補足

説明が足りずに申し訳ありません。おっしゃるとおり体積積分を表面積分に変えるというガウスの定理です。
力学における「最小作用の原理」ならイメージできるのですが、四次元体積において

>そして、変分をとるときには、「最小作用の原理」をもちいて、
>積分領域の限界における、場の成分がゼロになるから、消える、
>とするのではないでしょうか

の部分がイメージできず、うまく自分で説明できないのです。ランダウの本は両方とも持っているので、もう一度読み直してみます。

回答No.2

chukanshi

「最小作用の原理」を一粒子系で考えるか、場で考えるかの違いでしょう。

「力学」のq(t)は、一粒子なので、変数のパラメーターは時間tだけですが、
場の量になると、たとえば、R(t,x,y,z)とパラメーターの数が増えます。
形式上はそれだけのことです。
空間時間について、場の量が表面で固定されているイメージなので、
表面（積分領域の境界）でδR（微小変化分）はゼロになりますよね。

物理的なイメージが湧かないとおっしゃるのは、なかなかこちらも
説明しにくいので、ご自分でじっくりお考えになってください。
たまに考えにふけるのもよいものです（笑）。

お礼

どうもすいません。自分で考えてみます。
ありがとうございました。